Category: Επιστήμη και Τεχνολογία στην Εποχή της Βαϊμάρης

Το πορτραίτο του Dirac φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.Διάλεξη Νόμπελ, 12 Δεκεμβρίου, 1933

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

Επιμέλεια Μετάφρασης: Κέλη Σπυροπούλου

Επιστημονική Επιμέλεια Μετάφρασης – Σχολιασμός: Βασίλης Λεμπέσης «Καθηγητά Dirac, η θεωρία της κυματικής μηχανικής, την οποία έχετε αναπτύξει, χαρακτηρίζεται από την καθολικότητά της, καθώς από την αρχή έχετε επιβάλει την προϋπόθεση πως θα πρέπει να ικανοποιείται η αρχή της θεωρίας της σχετικότητας. Με αυτόν τον τρόπο έχετε αποδείξει πως η ύπαρξη και οι ιδιότητες του σπιν των ηλεκτρονίων είναι μια συνέπεια αυτής της θεωρίας και όχι απλά μια υπόθεση». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 10 Δεκεμβρίου 1933)

Οι πειραματικοί φυσικοί έχουν ανακαλύψει ότι η ύλη αποτελείται από μικροσκοπικά σωματίδια διαφόρων ειδών, με τα σωματίδια του κάθε είδους να είναι ακριβώς όμοια. Μερικά από αυτά τα είδη έχει σαφώς αποδειχθεί πως είναι σύνθετα, δηλαδή ότι αποτελούνται από άλλα απλούστερα σωματίδια που υπάρχουν στη φύση. Ωστόσο, υπάρχουν άλλα είδη σωματιδίων, τα οποία δεν έχει διαπιστωθεί ότι είναι σύνθετα, και τα οποία δεν αναμένεται ποτέ να αποδειχθεί πως είναι, με αποτέλεσμα κάποιος να τα θεωρήσει ως στοιχειώδη και θεμελιώδη.

Για γενικούς φιλοσοφικούς λόγους θα ήθελε κανείς με μια πρώτη ματιά να έχει όσο το δυνατόν λιγότερα είδη στοιχειωδών σωματιδίων, ας πούμε ένα μόνο είδος ή το πολύ δύο, και να έχει όλη την ύλη δομημένη από αυτά τα στοιχειώδη είδη. Από τα πειραματικά δεδομένα αποκαλύπτεται, ωστόσο,  ότι πρέπει να υπάρχουν περισσότερα από αυτά. Στην πραγματικότητα, το πλήθος των ειδών των στοιχειωδών σωματιδίων παρουσιάζει μια αρκετά ανησυχητική αυξητική τάση τα τελευταία χρόνια.

Η κατάσταση, παρόλα αυτά, ίσως δεν είναι και τόσο άσχημη, επειδή σε ένα βαθύτερο επίπεδο προκύπτει ότι ο διαχωρισμός μεταξύ στοιχειωδών και σύνθετων σωματιδίων δεν μπορεί να είναι αυστηρός. Για να έχουμε μια ερμηνεία μερικών σύγχρονων πειραματικών αποτελεσμάτων, πρέπει κάποιος να υποθέσει ότι τα σωματίδια μπορούν να δημιουργηθούν και να καταστραφούν. Έτσι, εάν ένα σωματίδιο παρατηρείται να προκύπτει από κάποιο άλλο, δεν μπορεί κανείς πλέον να είναι σίγουρος ότι το αρχικό σωματίδιο είναι σύνθετο. Το αρχικό σωματίδιο ίσως έχει και αυτό προκύψει από κάποιο άλλο.  Ο διαχωρισμός μεταξύ στοιχειωδών σωματιδίων και σύνθετων γίνεται πλέον για λόγους ευκολίας. Αυτός ο λόγος από μόνος του είναι αρκετός, για να αναγκάσει κάποιον να εγκαταλείψει την ελκυστική φιλοσοφική ιδέα ότι η ύλη στο σύνολό της δομείται από ένα ή πιθανώς δύο είδη δομικών λίθων.

Θα ήθελα εδώ να συζητήσω τα απλούστερα είδη σωματιδίων και να εξετάσω τι μπορεί να προκύψει ως συμπέρασμα σχετικά με αυτά, από καθαρά θεωρητικά επιχειρήματα. Τα απλούστερα είδη σωματιδίων είναι :

¡) τα φωτόνια ή κβάντα φωτός, από τα οποία συντίθεται το φως,

¡¡) τα ηλεκτρόνια και τα προσφάτως ανακαλυφθέντα ποζιτρόνια (τα οποία φαίνεται να είναι ένα είδος κατοπτρικού ειδώλου του ηλεκτρονίου, διαφέροντας από αυτό μόνο στο πρόσημο του ηλεκτρικού φορτίου),

¡¡¡) τα βαρύτερα σωματίδια- πρωτόνια και νετρόνια.

Από αυτά, θα ασχοληθώ σχεδόν αποκλειστικά με τα ηλεκτρόνια και τα ποζιτρόνια, όχι επειδή παρουσιάζουν περισσότερο ενδιαφέρον, αλλά επειδή, στην περίπτωση τους, η θεωρία έχει αναπτυχθεί περαιτέρω.  Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα που να μπορεί να συναχθεί θεωρητικά σχετικά με τις ιδιότητες των άλλων σωματιδίων. Τα φωτόνια, από τη μία πλευρά, είναι τόσο απλά, που μπορούν εύκολα να ταιριάξουν σε ένα θεωρητικό σχήμα και, επομένως, η θεωρία δε θέτει περιορισμούς στις ιδιότητές τους. Τα πρωτόνια και τα νετρόνια, από την άλλη πλευρά, φαίνεται να είναι περισσότερο περίπλοκα και καμιά αξιόπιστη βάση δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμα για τη θεωρία τους.

Η ερώτηση που πρέπει να αναρωτηθούμε, αρχικά, είναι γιατί η θεωρία δεν μπορεί να δώσει καμία απολύτως πληροφορία για τις ιδιότητες των στοιχειωδών σωματιδίων. Υπάρχει, επί του παρόντος, μια γενική κβαντική μηχανική η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την κίνηση κάθε είδους σωματιδίου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητές του. Η γενική κβαντική μηχανική, ωστόσο, έχει ισχύ μόνον όταν τα σωματίδια έχουν μικρές ταχύτητες και αποτυγχάνει για ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός, όταν ανακύπτουν  φαινόμενα σχετικότητας. Δεν υπάρχει σχετικιστική κβαντική μηχανική (δηλαδή μια που να ισχύει για μεγάλες ταχύτητες), για να μπορεί να εφαρμοστεί σε σωματίδια με απροσδιόριστες ιδιότητες. Έτσι, όταν κανείς υποβάλλει την κβαντική μηχανική σε σχετικιστικές προϋποθέσεις, θέτει περιορισμούς στις ιδιότητες του σωματιδίου. Με αυτόν τον τρόπο μπορεί κανείς να συναγάγει πληροφορίες για τα σωματίδια από καθαρά θεωρητική άποψη, βασισμένη σε γενικές αρχές της φυσικής.

Η διαδικασία είναι επιτυχής στην περίπτωση των ηλεκτρονίων και ποζιτρονίων. Ελπίζουμε, επίσης, ότι στο μέλλον κάποια τέτοια διαδικασία θα βρεθεί και στην περίπτωση των άλλων σωματιδίων. Θα ήθελα εδώ να αναφέρω συνοπτικά τα βασικά σημεία της μεθόδου για τα ηλεκτρόνια και τα ποζιτρόνια, αποδεικνύοντας πώς κανείς μπορεί να εξαγάγει τις ιδιότητες του σπιν του ηλεκτρονίου και πώς να συμπεράνει την ύπαρξη ποζιτρονίων με παρόμοιες ιδιότητες σπιν και με την πιθανότητα να μπορούν να εξαφανιστούν σε κρούσεις με τα ηλεκτρόνια.

Ξεκινάμε με την εξίσωση που συνδέει την κινητική ενέργεια W με την ορμή p_r (r = 1, 2, 3) ενός σωματιδίου στη σχετικιστική κλασική μηχανική

W²/c – p_r² – m²c² = 0.                                  (1)

Από αυτήν την εξίσωση μπορούμε να πάρουμε μια κυματική εξίσωση της κβαντικής μηχανικής αφήνοντας το αριστερό μέλος να δράσει πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ και θεωρώντας τα W  και  p ως τους τελεστές ih∂/∂t και -ih∂/∂x_r . Υπό αυτήν την έννοια, η κυματική εξίσωση διατυπώνεται ως

[W²/c – p_r² – m²c²]ψ = 0 .                                 (2)

Τώρα, είναι γενική απαίτηση της κβαντικής μηχανικής η κυματική εξίσωσή της να είναι γραμμική ως προς τον τελεστή W  ή , οπότε η παραπάνω εξίσωση δεν είναι κατάλληλη. Πρέπει να την αντικαταστήσουμε με κάποια γραμμική εξίσωση ως προς W  και, στην περίπτωση που αυτή η εξίσωση παραμένει αμετάβλητη κάτω από σχετικιστικούς μετασχηματισμούς, θα πρέπει να είναι επίσης γραμμική και ως προς τις ορμές p.

Οδηγούμαστε έτσι στο να θεωρήσουμε μια εξίσωση του τύπου

[W/c – α_r p_r  – α₀mc ]ψ = 0.                                  (3)

Αυτή η εξίσωση συμπεριλαμβάνει τέσσερις νέες μεταβλητές α_r και α₀,  οι οποίες είναι τελεστές που μπορούν να δράσουν πάνω στην ψ. Υποθέτουμε ότι ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες,

α_μ² = Ι     α_μα_ν + α_να_μ = 0,

όπου

α_μ² = Ι     α_μα_ν + α_να_μ = 0,

και επίσης πως οι τελεστές α μετατίθενται με τους τελεστές p και W. Αυτές οι ειδικές ιδιότητες των τελεστών α μετατρέπουν την Εξ.(3), κατά έναν ορισμένο βαθμό, σε ισοδύναμη με την Εξ.(2), καθώς, εάν στη συνέχεια πολλαπλασιάσουμε την (3) στο αριστερό μέλος επί W/c – α_r p_r  – α₀mc, θα πάρουμε ακριβώς την (2).

Οι νέες μεταβλητές α, τις οποίες πρέπει να εισαγάγουμε για να πάρουμε μια σχετικιστική κυματική εξίσωση, γραμμική ως προς W ,  φέρνουν στην επιφάνεια το σπιν του ηλεκτρονίου. Από τις γενικές αρχές της κβαντικής μηχανικής μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι αυτές οι μεταβλητές α δίνουν στο ηλεκτρόνιο ένα σπιν με τιμή ίση με το μισό του κβάντου  και μια μαγνητική διπολική ροπή με μέτρο ίσο με μια μαγνητόνη του Bohr και κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν του σπιν. Αυτά τα αποτελέσματα συμφωνούν με το πείραμα. Στην πραγματικότητα, τα πήραμε για πρώτη φορά από πειράματα φασματοσκοπίας και έπειτα επιβεβαιώθηκαν από τη θεωρία.

Οι μεταβλητές α έφεραν στην επιφάνεια μερικά, μάλλον μη αναμενόμενα, φαινόμενα που σχετίζονται με την κίνηση του ηλεκτρονίου. Αυτά έχουν πλήρως διερευνηθεί από τον Schrödinger. Διαπιστώθηκε ότι ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο φαίνεται σ’ εμάς να κινείται αργά, πρέπει παραδόξως να έχει μια πολύ υψηλής συχνότητας ταλαντωτική κίνηση μικρού πλάτους, η οποία υπερτίθεται στην κανονική κίνηση που γίνεται αντιληπτή από εμάς [1]. Ως αποτέλεσμα αυτής της ταλαντωτικής κίνησης, η ταχύτητα του ηλεκτρονίου οποιαδήποτε στιγμή ισούται με την ταχύτητα του φωτός. Αυτή είναι μια πρόβλεψη που δεν μπορεί να επαληθευτεί άμεσα από κάποιο πείραμα, επειδή η συχνότητα της ταλαντωτικής κίνησης είναι πολύ υψηλή και το πλάτος της πολύ μικρό. Αλλά, ωστόσο, πρέπει κανείς να αποδεχτεί αυτό το συμπέρασμα της θεωρίας, καθώς άλλες προβλέψεις της, οι οποίες είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με αυτό, όπως ο νόμος της σκέδασης του φωτός από ένα ηλεκτρόνιο, έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά.

Υπάρχει ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτών των εξισώσεων, το οποίο θα ήθελα τώρα να συζητήσω, που οδήγησε στην πρόβλεψη της ύπαρξης του ποζιτρονίου. Αν κάποιος κοιτάξει την Εξ.(1), βλέπει ότι επιτρέπει στην κινητική ενέργεια W να είναι είτε μια θετική ποσότητα μεγαλύτερη από mc²,  είτε μια αρνητική ποσότητα μικρότερη από –mc². Αυτό το αποτέλεσμα διατηρείται, όταν κανείς περάσει στην κβαντική εξίσωση (2) ή (3). Αυτές οι κβαντικές εξισώσεις είναι τέτοιες ώστε, όταν ερμηνεύονται σύμφωνα με το γενικό πλαίσιο της κβαντικής δυναμικής, επιτρέπουν ως πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης του W είτε κάτι μεγαλύτερο από mc² είτε κάτι μικρότερο από –mc².

Τώρα, στην πράξη, η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου είναι πάντα θετική. Βλέπουμε, έτσι, ότι οι εξισώσεις επιτρέπουν μεταξύ των δύο ειδών κίνησης του ηλεκτρονίου μόνο μια εξ’ αυτών, εκείνη που αντιστοιχεί σε ό,τι μας είναι οικείο. Η άλλη αναφέρεται σε ηλεκτρόνια με μια πολύ ιδιαίτερη κίνηση, τέτοια ώστε, όσο γρηγορότερα κινούνται,  τόσο λιγότερη ενέργεια έχουν, και θα πρέπει κάποιος να τους προσφέρει ενέργεια, για να τα φέρει σε κατάσταση ηρεμίας.

Συνεπώς, οδηγείται κανείς να εισαγάγει, ως μια νέα υπόθεση στη θεωρία, τη θέση πως μόνο ένα από τα δύο είδη κίνησης συμβαίνει στην πράξη. Αλλά αυτό προκαλεί μια δυσκολία, εφόσον διαπιστώνουμε από τη θεωρία ότι, εάν διαταράξουμε το ηλεκτρόνιο, πιθανόν να προκαλέσουμε μια μετάβαση από μια κατάσταση κίνησης με θετική ενέργεια σε μια κατάσταση με αρνητική ενέργεια, έτσι ώστε, ακόμα κι αν υποθέσουμε πως όλα τα ηλεκτρόνια του κόσμου ξεκινούν από καταστάσεις θετικής ενέργειας, μετά από ένα χρονικό διάστημα μερικά από αυτά θα βρίσκονται σε καταστάσεις με αρνητική ενέργεια.

Επομένως,  σε επιτρεπόμενες καταστάσεις αρνητικής ενέργειας, η θεωρία δίνει κάτι το οποίο εμφανίζεται να μην ανταποκρίνεται σε οτιδήποτε γνωστό πειραματικά, αλλά το οποίο δεν μπορούμε απλά να απορρίψουμε με μια νέα υπόθεση. Πρέπει να ανακαλύψουμε μια εξήγηση γι’ αυτές τις καταστάσεις.

Μια εξέταση της συμπεριφοράς αυτών των καταστάσεων μέσα σε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δείχνει  ότι αντιστοιχούν  στην κίνηση ενός ηλεκτρονίου με θετικό φορτίο αντί για το σύνηθες αρνητικό,  αυτού που οι πειραματιστές τώρα αποκαλούν ποζιτρόνιο. Συνεπώς, θα τείνει κανείς να υποθέσει ότι τα ηλεκτρόνια σε καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι απλώς ποζιτρόνια, αλλά αυτό δε θα συμβεί, επειδή τα παρατηρούμενα ποζιτρόνια σίγουρα δεν έχουν αρνητικές ενέργειες. Μπορούμε, ωστόσο,  να αποδείξουμε μια σχέση μεταξύ ηλεκτρονίων σε καταστάσεις αρνητικής ενέργειας και ποζιτρονίων με έναν κάπως πιο έμμεσο τρόπο.

Κάνουμε χρήση της Απαγορευτικής Αρχής του Pauli, σύμφωνα με την οποία μπορεί να υπάρξει μόνο ένα ηλεκτρόνιο σε μια οποιαδήποτε κατάσταση. Τώρα υποθέτουμε ότι στον κόσμο, όπως τον γνωρίζουμε,  σχεδόν όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας για τα ηλεκτρόνια είναι κατειλημμένες, με ένα μόνο ηλεκτρόνιο σε κάθε κατάσταση, και πως μια κατάσταση που χαρακτηρίζεται από ομοιόμορφη συμπλήρωση όλων των καταστάσεων αρνητικής ενέργειας είναι εντελώς μη παρατηρήσιμη από εμάς [2]. Επιπλέον, οποιαδήποτε μη κατειλημμένη κατάσταση αρνητικής ενέργειας που παρεκκλίνει από την ομοιομορφία είναι παρατηρήσιμη, και είναι απλά ένα ποζιτρόνιο.

Μια μη κατειλημμένη αρνητική κατάσταση ενέργειας, ή οπή όπως μπορούμε να την ονομάζουμε για συντομία, θα έχει θετική ενέργεια, εφόσον είναι ένας χώρος όπου υπάρχει έλλειψη αρνητικής ενέργειας. Η οπή είναι, στην πραγματικότητα, κάτι σαν ένα σύνηθες σωματίδιο, και η ταυτοποίησή της με το ποζιτρόνιο υποδεικνύει τον πιο λογικό τρόπο να ξεπεραστεί η δυσκολία εμφάνισης αρνητικών ενεργειών στις εξισώσεις μας. Από αυτήν την άποψη, το ποζιτρόνιο είναι απλώς ένα κατοπτρικό είδωλο του ηλεκτρονίου, που έχει ακριβώς την ίδια μάζα και αντίθετο φορτίο. Αυτό έχει ήδη, κατά προσέγγιση, επιβεβαιωθεί από πειράματα. Το ποζιτρόνιο πρέπει επίσης να έχει παρόμοιες ιδιότητες όσον αφορά το σπιν, αλλά αυτό δεν έχει επιβεβαιωθεί ακόμα από κάποιο πείραμα.

Από τη θεωρητική μας εικόνα, θα πρέπει να αναμένουμε ένα κοινό ηλεκτρόνιο με θετική ενέργεια να είναι ικανό να καταλάβει τη θέση μιας οπής, απελευθερώνοντας ενέργεια με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Αυτό θα σήμαινε μια διαδικασία στην οποία ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο θα εξαφανίζονταν αμοιβαία [3]. Η αντίστροφη διαδικασία, συγκεκριμένα η δημιουργία ενός ηλεκτρονίου κι ενός ποζιτρονίου από ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, θα μπορούσε επίσης να λάβει χώρα. Τέτοιες διαδικασίες φαίνεται να έχουν ανακαλυφθεί πειραματικά και για την ώρα διερευνώνται επισταμένως από τους πειραματιστές.

Η θεωρία των ηλεκτρονίων και ποζιτρονίων, την οποία μόλις περιέγραψα συνοπτικά, είναι μια αυτοσυνεπής θεωρία που ταιριάζει με τα πειραματικά γεγονότα, όπως είναι μέχρι τώρα  γνωστό. Θα επιθυμούσε κανείς να έχει μια εξίσου ικανοποιητική θεωρία για τα πρωτόνια. Κάποιος ίσως θεωρήσει ότι η ίδια θεωρία μπορεί να εφαρμοστεί στα πρωτόνια. Αυτό απαιτεί την πιθανότητα ύπαρξης αρνητικά φορτισμένων πρωτονίων, ένα κατοπτρικό είδωλο των γνωστών, θετικά φορτισμένων πρωτονίων.  Υπάρχει, ωστόσο, μια πρόσφατη πειραματική ένδειξη που ανακαλύφθηκε από τον Stern, σχετικά με τη μαγνητική ροπή του σπιν του πρωτονίου, η οποία έρχεται σε σύγκρουση με αυτήν τη θεωρία για το πρωτόνιο. Εφόσον το πρωτόνιο είναι τόσο πολύ βαρύτερο από το ηλεκτρόνιο,  είναι αρκετά πιθανό να απαιτείται κάποια περισσότερο πολύπλοκη θεωρία, παρόλο που κάποιος στην παρούσα στιγμή δεν μπορεί να πει ποια είναι αυτή η θεωρία.

Σε κάθε περίπτωση, νομίζω ότι είναι πιθανό τα αρνητικά πρωτόνια να υπάρχουν, καθώς, από τη στιγμή που η θεωρία είναι πλέον ξεκάθαρη, υπάρχει μια πλήρης και τέλεια συμμετρία μεταξύ θετικού και αρνητικού φορτίου και, αν αυτή η συμμετρία είναι πραγματικά θεμελιώδης στη φύση,  πρέπει να είναι δυνατόν να αντιστρέφει το φορτίο σε κάθε είδους σωματίδιο. Τα αρνητικά πρωτόνια θα είναι, φυσικά, πολύ πιο δύσκολο να παραχθούν πειραματικά, καθώς θα απαιτείται μια πολύ μεγαλύτερη ενέργεια, που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη μάζα.

Εάν αποδεχτούμε την άποψη της πλήρους συμμετρίας μεταξύ θετικού και αρνητικού φορτίου όσον αφορά τους θεμελιώδεις νόμους της φύσης, πρέπει να δούμε μάλλον σαν ένα τυχαίο γεγονός πως στη Γη, και κατά πάσα πιθανότητα σε ολόκληρο το ηλιακό σύστημα, εμφανίζεται μια περίσσεια αρνητικών ηλεκτρονίων και θετικών πρωτονίων. Είναι αρκετά πιθανό σε μερικά από τα αστέρια να συμβαίνει το αντίθετο, και αυτά να αποτελούνται κυρίως από ποζιτρόνια και αρνητικά πρωτόνια. Στην πραγματικότητα, ίσως υπάρχουν μισά αστέρια από κάθε είδος. Τα δύο είδη αστεριών θα έχουν ακριβώς το ίδιο φάσμα και δε θα υπάρχει τρόπος να τα διαχωρίσουμε μεταξύ τους με τις παρούσες αστρονομικές μεθόδους.

 

O Paul Adrien Maurice Dirac (8 Αυγούστου 1902 – 20 Οκτωβρίου 1984) είναι ένας από τους θεμελιωτές της κβαντικής μηχανικής και της ηλεκτροδυναμικής. Το βιβλίο του The Principles of Quantum Mechanics  θεωρείται από πολλούς πως είναι για την Κβαντομηχανική ό,τι τα Principia του Ισαάκ Νεύτωνα για τη Μηχανική. Το 1933 μοιράστηκε το βραβείο Νόμπελ από κοινού με τον Erwin Schrödinger. Διετέλεσε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ, στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι καθώς και στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Φλόριντα.[1] Εδώ ο Dirac αναφέρεται στο παράδοξο της «τρομώδους κίνησης» των ελευθέρων σωματιδίων, γνωστή στη διεθνή βιβλιογραφία με τον γερμανικό όρο “Ζitterbewegung”. Πρόκειται για ένα φαινόμενο που προβλέφθηκε θεωρητικά το 1928 από τον Gregory Breit και το 1930 από τον Erwin Schrödinger ως αποτέλεσμα της συμβολής λύσεων θετικής και αρνητικής ενέργειας σ’ ένα κυματοπακέτο που υπακούει στην εξίσωση Dirac. Η άρση αυτού του παράδοξου γίνεται δυνατή μέσω της λεγόμενης «δεύτερης κβάντωσης» στην κβαντική θεωρία πεδίων.

[2] «Σύμφωνα με τον Dirac, όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι κατειλημμένες από σωματίδια, δημιουργώντας έτσι ένα τελείως άκαμπτο υπόστρωμα – ένα είδος «παγωμένης θάλασσας», όπου κάθε περαιτέρω κίνηση είναι αδύνατη, αφού δεν υπάρχουν διαθέσιμες ενεργειακές καταστάσεις, πλην βεβαίως εκείνων με θετική ενέργεια, που χωρίζονται όμως από τις προηγούμενες με ένα τεράστιο ενεργειακό χάσμα». (βλ. Τραχανάς, Σ., 1991. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ηράκλειο: ΠΕΚ, σελ. 52).

[3] «Στην ουσία, η εξίσωση Dirac δεν μπορεί να σταθεί ως μονοσωματιδιακή θεωρία, δηλαδή μια θεωρία που η κυματοσυνάρτησή της ψ = ψ(x) περιγράφει ένα μόνο σωματίδιο. Γενικότερα δεν μπορεί να σταθεί ως μια θεωρία καθορισμένου αριθμού σωματιδίων…Θα πρέπει να επανερμηνευθεί ως μια θεωρία με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων και αντισωματιδίων, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα δημιουργίας και καταστροφής τους…Αν ο αριθμός των σωματιδίων παύει να είναι καθορισμένος, και ένας οποιοσδήποτε αριθμός απ’ αυτά μπορεί να παραχθεί σε μια αντίδραση, (αρκεί να υπάρχει η ανάλογη ενέργεια), τότε μια θεωρία που θα εμπεριέχει όλες αυτές τις δυνατότητες θα πρέπει να είναι υποχρεωτικά μια θεωρία με άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Και αυτό μας παραπέμπει φυσιολογικά στην έννοια του πεδίου, που είναι πράγματι μια φυσική οντότητα με τέτοιο πλήθος βαθμών ελευθερίας.» (βλ. Τραχανάς, Σ., 1991. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ηράκλειο: ΠΕΚ, σελ. 53 & 54).