Category: ΦΥΣΙΚΗ

Μετάφραση: Βαρβάρα Πετανίδου

«…για την ανακάλυψη της Απαγορευτικής Αρχής, γνωστής και ως Αρχής του Pauli σύμφωνα με τον Born, η κβαντική μηχανική μας δίνει μόνο μια στατιστική περιγραφή». (Από την προσφώνηση στην τελετή απονομής του βραβείου Nobel, 13 Δεκεμβρίου 1946)»Η ιστορία της ανακάλυψης της «απαγορευτικής αρχής», για την οποία μου απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ το 1945, ξεκινάει από τα φοιτητικά μου χρόνια στο Μόναχο. Ενώ, στο σχολείο της Βιέννης, είχα ήδη αποκτήσει κάποιες γνώσεις κλασικής φυσικής και της νέας, τότε, θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν, στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου ο Sommerfeld, με εισήγαγε στη φυσική της δομής του ατόμου – που είναι κάπως παράξενη από την άποψη της κλασικής φυσικής. Δεν ξέφυγα από το σοκ που βίωσε κάθε φυσικός, συνηθισμένος στον κλασικό τρόπο σκέψης, όταν έμαθε για πρώτη φορά το «βασικό αξίωμα της κβαντικής θεωρίας» του Μπορ. Εκείνη την εποχή υπήρχαν δύο προσεγγίσεις στα δύσκολα προβλήματα που συνδέονταν με το κβάντο της δράσης. Η πρώτη ήταν μια προσπάθεια να μπει μια αφηρημένη τάξη στις νέες ιδέες, αναζητώντας ένα κλειδί για τη μετάφραση της κλασικής μηχανικής και της ηλεκτροδυναμικής σε κβαντική γλώσσα που θα αποτελούσε μια λογική γενίκευση αυτών. Προς αυτή την κατεύθυνση κινήθηκε η «αρχή της αντιστοιχίας» του Bohr. Ο Sommerfeld, ωστόσο, προτίμησε, ενόψει των δυσκολιών που εμπόδιζαν τη χρήση της έννοιας των μοντέλων της κινηματικής, μια άμεση ερμηνεία, όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητη από τα μοντέλα, των νόμων των φασμάτων μέσω ακεραίων αριθμών, ακολουθώντας, όπως έκανε κάποτε ο Kepler στην έρευνά του για το πλανητικό σύστημα, μια εσωτερική αίσθηση της αρμονίας. Και οι δύο μέθοδοι, που δεν μου φαίνονταν ασυμβίβαστες, με επηρέασαν. Η σειρά των ακέραιων αριθμών 2, 8, 18, 32… που αντιστοιχούν στα μήκη των περιόδων στο φυσικό σύστημα των χημικών στοιχείων, συζητήθηκε με ζήλο στο Μόναχο, συμπεριλαμβανομένης της παρατήρησης του Σουηδού φυσικού Rydberg, ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν την απλή μορφή 2n², αν το n παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές. Ο Sommerfeld προσπάθησε ιδιαίτερα να συνδέσει τον αριθμό 8 με τον αριθμό των γωνιών ενός κύβου.

Μια νέα φάση της επιστημονικής μου ζωής άρχισε, όταν συνάντησα για πρώτη φορά προσωπικά τον Niels Bohr. Αυτό συνέβη το 1922, όταν έδωσε μια σειρά από προσκεκλημένες διαλέξεις στο Γκέτινγκεν, στις οποίες ανέφερε τις θεωρητικές έρευνές του σχετικά με το περιοδικό σύστημα των στοιχείων. Θα υπενθυμίσω μόνο εν συντομία ότι η ουσιαστική πρόοδος που σημειώθηκε από τις θεωρήσεις του Bohr εκείνη την εποχή ήταν η εξήγηση, μέσω του σφαιρικά συμμετρικού ατομικού μοντέλου, του σχηματισμού των ενδιάμεσων στοιβάδων του ατόμου και των γενικών ιδιοτήτων των σπάνιων γαιών. Το ερώτημα, ως προς το γιατί όλα τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο στη θεμελιώδη του κατάσταση δεν ήταν δεσμευμένα στην εσωτερική στιβάδα, είχε ήδη επισημανθεί από τον Bohr ως θεμελιώδες πρόβλημα, στα προηγούμενα έργα του. Στις διαλέξεις του στο Γκέτινγκεν ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την συμπλήρωση αυτής της εσωτερικότερης στιβάδας Κ στο άτομο του ηλίου και την ουσιαστική σύνδεσή της με τα δύο διακριτά φάσματα του ηλίου, το φάσμα του ορθο- και το φάσμα του παρα-ηλίου. Ωστόσο, καμία πειστική εξήγηση για το φαινόμενο αυτό δεν μπορούσε να δοθεί με βάση την κλασική μηχανική. Μου έκανε μεγάλη εντύπωση ότι ο Bohr εκείνη την εποχή, και σε μεταγενέστερες συζητήσεις, αναζητούσε μια γενική εξήγηση που θα έπρεπε να ισχύει για την συμπλήρωση κάθε στιβάδας ηλεκτρονίων και στην οποία ο αριθμός 2 θεωρούνταν εξίσου σημαντικός με τον αριθμό 8 σε αντίθεση με την προσέγγιση του Sommerfeld.

Ακολουθώντας την πρόσκληση του Bohr, πήγα στην Κοπεγχάγη το φθινόπωρο του 1922, όπου κατέβαλα σοβαρή προσπάθεια να εξηγήσω το λεγόμενο «ανώμαλο φαινόμενο Zeeman», όπως ονόμαζαν οι φασματοσκόποι, ένα είδος διαχωρισμού των φασματικών γραμμών σε μαγνητικό πεδίο που διαφέρει από την κανονική τριπλέτα. Από τη μία πλευρά, ο ανώμαλος τύπος διαχωρισμού διεπόταν από όμορφους και απλούς νόμους και ο Landé είχε ήδη καταφέρει να βρει τον απλούστερο διαχωρισμό των φασματοσκοπικών όρων από τον παρατηρούμενο διαχωρισμό των γραμμών. Το πιο θεμελιώδες από τα αποτελέσματά του ήταν, με τον τρόπο αυτό, η χρήση των ημιακέραιων αριθμών ως μαγνητικών κβαντικών αριθμών για τα φάσματα διπλασιασμού των αλκαλικών μετάλλων. Από την άλλη πλευρά, o ανώμαλος διαχωρισμός ήταν δύσκολα κατανοητός από τη σκοπιά του μηχανικού μοντέλου του ατόμου, δεδομένου ότι πολύ γενικές παραδοχές σχετικά με το ηλεκτρόνιο, χρησιμοποιώντας την κλασική θεωρία καθώς και την κβαντική θεωρία, οδηγούσαν πάντα στην ίδια τριπλέτα. Μια πιο λεπτομερής διερεύνηση αυτού του προβλήματος μου άφησε την αίσθηση ότι ήταν ακόμη πιο απρόσιτο. Γνωρίζουμε τώρα ότι εκείνη την εποχή βρισκόταν κανείς αντιμέτωπος ταυτόχρονα με δύο λογικά διαφορετικές δυσκολίες. Ένα βασικό πρόβλημα ήταν η απουσία μιας γενικής αρχής ή «κλείδας» για τη μετάφραση ενός δεδομένου μηχανικού προτύπου στη κβαντική θεωρία. Οι προσπάθειες να επιτευχθεί αυτό μέσω της κλασικής μηχανικής για την περιγραφή των στάσιμων κβαντικών καταστάσεων απέβησαν μάταιες. Η δεύτερη δυσκολία ήταν η άγνοιά μας σχετικά με το κατάλληλο κλασικό πρότυπο, το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να προκύψει, έστω και θεωρητικά, ένας ανώμαλος διαχωρισμός των φασματικών γραμμών που εκπέμπονται από ένα άτομο μέσα σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Επομένως, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι δεν μπόρεσα να βρω μια ικανοποιητική λύση του προβλήματος εκείνη τη στιγμή. Κατόρθωσα, ωστόσο, να γενικεύσω την ανάλυση των όρων του Landé για πολύ ισχυρά μαγνητικά πεδία², μια περίπτωση η οποία, ως αποτέλεσμα του μαγνητο-οπτικού μετασχηματισμού (φαινόμενο Paschen-Back), είναι από πολλές απόψεις απλούστερη. Αυτή η πρώιμη εργασία είχε αποφασιστική σημασία για την εύρεση της απαγορευτικής αρχής.

Πολύ σύντομα, μετά την επιστροφή μου στο Πανεπιστήμιο του Αμβούργου, το 1923, έδωσα εκεί την εναρκτήρια διάλεξή μου ως ιδιώτης διδάσκων (Σ.τ.Μ.: Γερμανικά στο κείμενο. Privatdozent) για το Περιοδικό Σύστημα των Στοιχείων. Το περιεχόμενο αυτής της διάλεξης δεν μου φάνηκε αρκετά ικανοποιητικό, καθώς το πρόβλημα της πλήρους συμπλήρωσης των ηλεκτρονικών στοιβάδων δεν είχε διευκρινιστεί περαιτέρω. Το μόνο σαφές πράγμα, ήταν ότι πρέπει να υπάρχει μια στενότερη σχέση αυτού του προβλήματος με τη θεωρία της δομής των πολλαπλοτήτων. Προσπάθησα, λοιπόν, να εξετάσω ξανά, με κριτική σκέψη, την απλούστερη περίπτωση της δομής των διπλών γραμμών των φασμάτων των αλκαλίων. Σύμφωνα με την τότε ορθόδοξη άποψη, την οποία είχε υιοθετήσει και ο Bohr στις ήδη αναφερθείσες διαλέξεις του στο Göttingen, μια μη μηδενική στροφορμή του ατομικού πυρήνα υποτίθεται ότι ήταν η αιτία αυτής της δομής των διπλών γραμμών.

Το φθινόπωρο του 1924 δημοσίευσα μερικά επιχειρήματα εναντίον αυτής της άποψης, την οποία απέρριψα οριστικά ως λανθασμένη και πρότεινα αντί αυτών, την παραδοχή μιας νέας κβαντικής θεώρησης της ιδιότητας του ηλεκτρονίου, την οποία αποκάλεσα «μη κλασικά περιγράψιμo δίτιμο χαρακτήρα»³. Εκείνη την εποχή εμφανίστηκε μια εργασία του Άγγλου φυσικού Stoner⁴, η οποία περιείχε, εκτός από βελτιώσεις στην ταξινόμηση των ηλεκτρονίων σε υποομάδες, την ακόλουθη ουσιώδη παρατήρηση: για µια δεδοµένη τιµή του κύριου κβαντικού αριθµού, ο αριθµός των ενεργειακών επιπέδων ενός και µόνο ηλεκτρονίου στο φάσµα των αλκαλίων µετάλλων σε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο, είναι ο ίδιος µε τον αριθµό των ηλεκτρονίων στην συμπληρωμένη στιβάδα των σπάνιων αερίων που αντιστοιχεί σε αυτόν τον κύριο κβαντικό αριθµό.

Με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματά μου σχετικά με την ταξινόμηση των φασματικών όρων σε ισχυρό μαγνητικό πεδίο, η γενική διατύπωση της απαγορευτικής αρχής έγινε σαφής για μένα. Η θεμελιώδης ιδέα μπορεί να διατυπωθεί με τον ακόλουθο τρόπο: οι περίπλοκοι αριθμοί των ηλεκτρονίων σε πλήρως κατειλημμένες υποομάδες ανάγονται στον απλό αριθμό ένα, αν η διαίρεση των ομάδων δίνοντας τις τιμές των τεσσάρων κβαντικών αριθμών ενός ηλεκτρονίου προχωρήσει τόσο πολύ ώστε να αρθεί κάθε εκφυλισμός. Μια εντελώς μη εκφυλισμένη ενεργειακή στάθμη είναι ήδη «κατειλημμένη», αν καταλαμβάνεται από ένα μόνο ηλεκτρόνιο- καταστάσεις που έρχονται σε αντίθεση με αυτό το αξίωμα πρέπει να αποκλείονται. Η έκθεση αυτής της γενικής διατύπωσης της απαγορευτικής αρχής έγινε στο Αμβούργο την άνοιξη του 1925⁵, αφού μπόρεσα να επαληθεύσω ορισμένα πρόσθετα συμπεράσματα σχετικά με το ανώμαλο φαινόμενο Zeeman σε πιο περίπλοκα άτομα κατά τη διάρκεια μιας επίσκεψης στο Tübingen με τη βοήθεια του φασματοσκοπικού υλικού που συγκεντρώθηκε εκεί.

Με εξαίρεση τους ειδικούς στην ταξινόμηση των φασματικών όρων, οι φυσικοί δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την απαγορευτική αρχή, δεδομένου ότι ο τέταρτος βαθμός ελευθερίας του ηλεκτρονίου δεν είχε κανένα νόημα από την άποψη ενός μοντέλου. Το κενό καλύφθηκε από την ιδέα των Uhlenbeck και Goudsmit για το σπιν του ηλεκτρονίου⁶, η οποία κατέστησε δυνατή την κατανόηση του ανώμαλου φαινομένου Zeeman υποθέτοντας απλώς ότι ο κβαντικός αριθμός σπιν ενός ηλεκτρονίου είναι ίσος με 1/2 και ότι το πηλίκο της μαγνητικής ροπής προς τη μηχανική στροφορμή έχει για το σπιν τιμή διπλάσια από εκείνη της συνήθους τροχιάς του ηλεκτρονίου. Από τότε, η απαγορευτική αρχή έχει συνδεθεί στενά με την ιδέα του σπιν. Παρόλο που στην αρχή αμφέβαλλα έντονα για την ορθότητα αυτής της ιδέας λόγω του κλασικού-μηχανικού χαρακτήρα της, τελικά στράφηκα σε αυτήν από τους υπολογισμούς του Thomas⁷ σχετικά με το μέγεθος του διαχωρισμού της διπλής γραμμής. Από την άλλη πλευρά, οι προηγούμενες αμφιβολίες μου, καθώς και η προσεκτική έκφραση «κλασικά μη περιγράψιμο δίτιμο χαρακτήρα» γνώρισαν μια ορισμένη επαλήθευση κατά τη διάρκεια των μεταγενέστερων εξελίξεων, αφού ο Bohr μπόρεσε να δείξει με βάση την κυματομηχανική ότι το σπιν του ηλεκτρονίου δεν μπορεί να μετρηθεί με πειράματα που μπορούν να περιγραφούν κλασικά (όπως, για παράδειγμα, η εκτροπή μοριακών δεσμών σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία) και επομένως πρέπει να θεωρηθεί ως μια ουσιαστικά κβαντομηχανική ιδιότητα του ηλεκτρονίου^8,9.

Οι μετέπειτα εξελίξεις καθορίστηκαν από την εμφάνιση της νέας κβαντομηχανικής. Το 1925, την ίδια χρονιά που δημοσίευσα την εργασία μου για την απαγορευτική αρχή, ο De Broglie διατύπωσε την ιδέα του για τα υλικά κύματα και ο Heisenberg τη νέα μηχανική μητρών, ενώ τον επόμενο χρόνο ακολούθησε γρήγορα η κυματομηχανική του Schrödinger. Είναι προς το παρόν περιττό να τονιστεί η σημασία και ο θεμελιώδης χαρακτήρας αυτών των ανακαλύψεων, πολύ περισσότερο όταν οι ίδιοι αυτοί οι φυσικοί έχουν εξηγήσει, εδώ στη Στοκχόλμη, το νόημα των κορυφαίων ιδεών τους¹⁰. Ούτε ο χρόνος μου επιτρέπει να παρουσιάσω λεπτομερώς τη γενική επιστημολογική σημασία του νέου κλάδου της κβαντομηχανικής, πράγμα που έχει γίνει, μεταξύ άλλων, σε μια σειρά άρθρων του Bohr, χρησιμοποιώντας εδώ την ιδέα της «συμπληρωματικότητας» ως νέα κεντρική έννοια¹¹. Θα υπενθυμίσω μόνο, ότι οι προτάσεις της κβαντομηχανικής αφορούν μόνο τις δυνατότητες και όχι τις πραγματικότητες. Έχουν τη µορφή «Αυτό δεν είναι δυνατόν» ή «Είτε αυτό είτε εκείνο είναι δυνατόν», αλλά ποτέ δεν µπορούν να πουν «Αυτό θα συµβεί πραγµατικά τότε και εκεί». Η πραγματική παρατήρηση εμφανίζεται ως ένα γεγονός εκτός του εύρους περιγραφής μέσω φυσικών νόμων και επιφέρει γενικά μια ασυνεχή επιλογή από τις διάφορες δυνατότητες που προβλέπονται από τους στατιστικούς νόμους της νέας θεωρίας. Μόνο αυτή η εγκατάλειψη των παλαιότερων αξιώσεων, για μια αντικειμενική περιγραφή των φυσικών φαινομένων, ανεξάρτητη από τον τρόπο παρατήρησής τους, κατέστησε δυνατή την επαναφορά της εσωτερικής συνέπειας της κβαντικής θεωρίας, η οποία στην πραγματικότητα είχε χαθεί μετά την ανακάλυψη του κβάντου δράσης από τον Planck. Χωρίς να συζητήσω περαιτέρω την αλλαγή στάσης της σύγχρονης φυσικής απέναντι σε έννοιες όπως η «αιτιότητα» και η «φυσική πραγματικότητα» σε σύγκριση με την παλαιότερη κλασική φυσική, θα συζητήσω πιο συγκεκριμένα στη συνέχεια τη θέση της απαγορευτικής αρχής στη νέα κβαντομηχανική.

Όπως έδειξε για πρώτη φορά ο Heisenberg¹² , η μηχανική κυμάτων οδηγεί σε ποιοτικά συμπεράσματα διαφορετικά για σωματίδια του ίδιου είδους (για παράδειγμα για ηλεκτρόνια) σε σχέση με σωματίδια διαφορετικών ειδών. Ως συνέπεια της αδυναμίας διάκρισης τού ενός από πολλά όμοια σωματίδια, οι κυματοσυναρτήσεις που περιγράφουν το σύνολο ενός συγκεκριμένου αριθμού όμοιων σωματιδίων στον γενικευμένο χώρο καταστάσεων, διαχωρίζονται αυστηρά σε διαφορετικές κατηγορίες συμμετρίας που δεν μπορούν ποτέ να μετασχηματιστούν από τη μία στην άλλη μέσω εξωτερικών διαταραχών. Ο όρος «γενικευμένος χώρος καταστάσεων» περιλαμβάνει τον βαθμό ελευθερίας του σπιν, ο οποίος περιγράφεται στην κυματοσυνάρτηση ενός μεμονωμένου σωματιδίου από έναν δείκτη με πεπερασμένο μόνο αριθμό δυνατών τιμών. Για τα ηλεκτρόνια ο αριθμός αυτός είναι ίσος με δύο. Ο χώρος διαμόρφωσης Ν ηλεκτρονίων έχει, επομένως, 3 Ν διαστάσεις και Ν δείκτες «διπλών τιμών». Μεταξύ των διαφόρων κατηγοριών συμμετρίας, οι σημαντικότερες (οι οποίες άλλωστε για δύο σωματίδια είναι οι μόνες) είναι η συμμετρική, στην οποία η κυματοσυνάρτηση δεν αλλάζει την τιμή της, όταν οι συντεταγμένες χώρου και σπιν δύο σωματιδίων μετατίθενται αμοιβαία, και η αντισυμμετρική κατηγορία, στην οποία για μια τέτοια μετάθεση, η κυματοσυνάρτηση αλλάζει το πρόσημό της. Σε αυτό το στάδιο της θεωρίας τρεις διαφορετικές υποθέσεις αποδείχθηκαν λογικά δυνατές σχετικά με το πραγματικό σύνολο πολλών ομοειδών σωματιδίων στη Φύση.

I.    Το σύνολο είναι ένα μείγμα όλων των τύπων συμμετρίας.

II.   Εμφανίζεται μόνο η περίπτωση συμμετρικών σωματιδίων.

III.  Εμφανίζεται μόνο η περίπτωση αντισυμμετρικών σωματιδίων.

Όπως θα δούμε, η πρώτη υπόθεση δεν πραγματοποιείται ποτέ στη Φύση. Επιπλέον, μόνο η τρίτη υπόθεση είναι σύμφωνη με την απαγορευτική αρχή, αφού μια αντισυμμετρική συνάρτηση που περιέχει δύο σωματίδια στην ίδια κατάσταση είναι ταυτοτικά μηδενική. Η υπόθεση ΙΙΙ μπορεί, επομένως, να θεωρηθεί ως η ορθή και γενική διατύπωση της απαγορευτικής αρχής, σύμφωνα με την κυματομηχανική. Αυτή η δυνατότητα ισχύει πράγματι για τα ηλεκτρόνια.

Η κατάσταση αυτή μου φάνηκε απογοητευτική από μια σημαντική άποψη. Ήδη στην αρχική μου εργασία είχα τονίσει το γεγονός ότι δεν ήμουν σε θέση να δώσω μια λογική αιτία για την απαγορευτική αρχή ή να την εξάγω από γενικότερες υποθέσεις. Είχα πάντοτε την αίσθηση, και την έχω ακόμη και σήμερα, ότι αυτό είναι μια ανεπάρκεια. Βέβαια, στην αρχή ήλπιζα ότι η νέα κβαντομηχανική, με τη βοήθεια της οποίας ήταν δυνατόν να εξαχθούν τόσοι πολλοί ημι-εμπειρικοί τυπικοί κανόνες που χρησιμοποιούνταν τότε, θα εξαγάγει με αυστηρότητα και την απαγορευτική αρχή. Αντί γι’ αυτήν υπήρχε για τα ηλεκτρόνια ακόμη μια απαγόρευση: όχι πια συγκεκριμένων καταστάσεων, αλλά ολόκληρων τάξεων καταστάσεων, δηλαδή η απαγόρευση όλων των τάξεων που διαφέρουν από την αντισυμμετρική. Η εντύπωση ότι η σκιά κάποιας ατέλειας έπεσε πάνω στο λαμπρό φως της επιτυχίας της νέας κβαντομηχανικής, μου φαίνεται αναπόφευκτη. Θα επανέλθουμε σε αυτό το πρόβλημα όταν θα συζητήσουμε τη σχετικιστική κβαντομηχανική, αλλά επιθυμούμε να δώσουμε πρώτα έναν απολογισμό περαιτέρω αποτελεσμάτων της εφαρμογής της κυματομηχανικής σε συστήματα πολλών ομοειδών σωματιδίων.

Στην εργασία του, την οποία συζητάμε, ο Heisenberg, μπόρεσε επίσης να δώσει μια απλή εξήγηση για την ύπαρξη των δύο διακριτών φασμάτων του ηλίου που ανέφερα στην αρχή αυτής της διάλεξης. Πράγματι, εκτός από τον αυστηρό διαχωρισμό των κυματοσυναρτήσεων σε τάξεις συμμετρίας ως προς τις συντεταγμένες χώρου και τους δείκτες σπιν μαζί, υπάρχει και ένας προσεγγιστικός διαχωρισμός σε τάξεις συμμετρίας ως προς τις συντεταγμένες χώρου μόνο. Ο τελευταίος ισχύει μόνο, εφόσον μπορεί να παραμεληθεί μια αλληλεπίδραση μεταξύ του σπιν και της τροχιακής κίνησης του ηλεκτρονίου. Με αυτόν τον τρόπο τα φάσματα παρα- και ορθο-ηλίου θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως μέρη της τάξης των συμμετρικών και αντισυμμετρικών κυματοσυναρτήσεων αντίστοιχα, μόνο ως προς τις συντεταγμένες χώρου. Έγινε σαφές ότι η ενεργειακή διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων επιπέδων των δύο τάξεων δεν έχει καμία σχέση με τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις, αλλά με μια νέου τύπου, πολύ μεγαλύτερης τάξης μεγέθους, η οποία ονομάζεται ενέργεια ανταλλαγής.

Πιο θεμελιώδη σημασία έχει η σύνδεση των τάξεων συμμετρίας με γενικά προβλήματα της στατιστικής θεωρίας της θερμότητας. Όπως είναι γνωστό, η θεωρία αυτή οδηγεί στο αποτέλεσμα ότι η εντροπία ενός συστήματος δίνεται (εκτός από έναν σταθερό παράγοντα) από τον λογάριθμο του αριθμού των κβαντικών καταστάσεων ολόκληρου του συστήματος σε μια λεγόμενη ενεργειακή στοιβάδα. Θα περίμενε κανείς, αρχικά, ότι ο αριθμός αυτός θα έπρεπε να είναι ίσος με τον αντίστοιχο όγκο του πολυδιάστατου χώρου φάσεων διαιρεμένου με hf , όπου h είναι η σταθερά του Planck και f ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ολόκληρου του συστήματος. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι για ένα σύστημα N ομοειδών σωματιδίων, έπρεπε ακόμη να διαιρέσει κανείς αυτό το πηλίκο με το N! προκειμένου να λάβει μια τιμή για την εντροπία, σύμφωνα με τη συνηθισμένη αρχή της ομοιογένειας ότι η εντροπία πρέπει να είναι ανάλογη της μάζας για μια δεδομένη εσωτερική κατάσταση του υλικού. Με αυτόν τον τρόπο, μια ποιοτική διάκριση μεταξύ όμοιων και ανόμοιων σωματιδίων είχε ήδη προαποφασιστεί στη γενική στατιστική μηχανική, μια διάκριση την οποία ο Gibbs προσπάθησε να εκφράσει με τις έννοιες της γενικής και της ειδικής φάσης. Υπό το πρίσμα του αποτελέσματος της κυματομηχανικής σχετικά με τις τάξεις συμμετρίας, αυτή η διαίρεση δια N! , που είχε ήδη προκαλέσει πολλές συζητήσεις, μπορεί εύκολα να ερμηνευθεί με την αποδοχή μιας από τις υποθέσεις μας II και III, σύμφωνα με τις οποίες η μια τάξη συμμετρίας εμφανίζεται στη Φύση. Η πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων ολόκληρου του συστήματος γίνεται τότε, πραγματικά, μικρότερη κατά έναν παράγοντα N! σε σύγκριση με την πυκνότητα που έπρεπε να αναμένεται σύμφωνα με μια υπόθεση του τύπου Ι που δέχεται όλες τις τάξεις συμμετρίας.

Ακόμη και για ένα ιδανικό αέριο, στο οποίο η ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ των μορίων μπορεί να παραληφθεί, πρέπει να αναμένονται αποκλίσεις από τη συνήθη καταστατική εξίσωση για τον λόγο ότι μόνο μία κατηγορία συμμετρίας είναι δυνατή, μόλις το μέσο μήκος κύματος De Broglie ενός μορίου αερίου γίνει μιας τάξης μεγέθους συγκρίσιμης με τη μέση απόσταση μεταξύ δύο μορίων, δηλαδή για μικρές θερμοκρασίες και μεγάλες πυκνότητες. Για την αντισυμμετρική κατηγορία, οι στατιστικές συνέπειες έχουν εξαχθεί από τους Fermi και Dirac¹³, ενώ για τη συμμετρική κατηγορία το ίδιο είχε γίνει ήδη πριν από την ανακάλυψη της νέας κβαντομηχανικής από τους Einstein και Bose¹⁴. Η πρώτη περίπτωση μπορούσε να εφαρμοστεί στα ηλεκτρόνια ενός μετάλλου και να χρησιμοποιηθεί για την ερμηνεία των μαγνητικών και άλλων ιδιοτήτων των μετάλλων.

Μόλις ξεκαθαρίστηκαν οι τάξεις συμμετρίας για τα ηλεκτρόνια, προέκυψε το ερώτημα ποιες είναι οι τάξεις συμμετρίας για τα άλλα σωματίδια. Ένα παράδειγμα για σωματίδια με συμμετρικές κυματοσυναρτήσεις μόνο (υπόθεση ΙΙ) ήταν ήδη γνωστό εδώ και πολύ καιρό, και συγκεκριμένα τα φωτόνια. Αυτό δεν είναι μόνο μια άμεση συνέπεια της εξαγωγής από τον Planck της φασματικής κατανομής της ενέργειας της ακτινοβολίας στη θερμοδυναμική ισορροπία, αλλά είναι επίσης απαραίτητο για τη δυνατότητα εφαρμογής των κλασικών πεδιακών εννοιών στα φωτεινά κύματα στο όριο όπου ένας μεγάλος, και όχι επακριβώς καθορισμένος αριθμός φωτονίων, υπάρχει σε μια ενιαία κβαντική κατάσταση. Σημειώνουμε ότι η συμμετρική τάξη για τα φωτόνια εμφανίζεται μαζί με την ακέραια τιμή 1 για το σπιν τους, ενώ η αντισυμμετρική για το ηλεκτρόνιο εμφανίζεται μαζί με τη μισή ακέραια τιμή 1/2 για το σπιν.

Ωστόσο, το σημαντικό ζήτημα των κατηγοριών συμμετρίας για τους πυρήνες έπρεπε ακόμη να διερευνηθεί. Φυσικά η κατηγορία συμμετρίας αναφέρεται εδώ και στην αμοιβαία μετάθεση τόσο των συντεταγμένων χώρου, όσο και των δεικτών σπιν δύο όμοιων πυρήνων. Ο δείκτης σπιν μπορεί να πάρει 2Ι+1 τιμές αν Ι είναι ο κβαντικός αριθμός σπιν του πυρήνα που μπορεί να είναι είτε ακέραιος, είτε ημιακέραιος. Μπορώ να συμπεριλάβω την ιστορική παρατήρηση ότι ήδη από το 1924, πριν ανακαλυφθεί το σπιν του ηλεκτρονίου, πρότεινα να χρησιμοποιηθεί η παραδοχή του πυρηνικού σπιν για να ερμηνευθεί η υπέρλεπτη υφή των φασματικών γραμμών¹⁵. Η πρόταση αυτή συνάντησε από τη μια έντονες αντιδράσεις από πολλές πλευρές, αλλά επηρέασε από την άλλη τους Goudsmit και Uhlenbeck στον ισχυρισμό τους για την ύπαρξη του σπιν του ηλεκτρονίου. Μόνο μερικά χρόνια αργότερα η προσπάθειά μου να ερμηνεύσω την υπέρλεπτη υφή κατάφερε να επιβεβαιωθεί οριστικά, πειραματικά, με έρευνες στις οποίες συμμετείχε και ο ίδιος ο Zeeman και οι οποίες έδειξαν την ύπαρξη ενός μαγνητο-οπτικού μετασχηματισμού της υπέρλεπτης υφής, όπως το είχα προβλέψει. Από τότε η υπέρλεπτη υφή των φασματικών γραμμών έγινε μια γενική μέθοδος προσδιορισμού του πυρηνικού σπιν.

Προκειμένου να προσδιοριστεί πειραματικά και η κατηγορία συμμετρίας των πυρήνων, χρειάστηκαν άλλες μέθοδοι. Η πιο βολική, αν και όχι η μόνη, συνίσταται στη διερεύνηση των συνεχών φασμάτων που εμφανίζονται σε ένα μόριο με δύο όµοια άτοµα ¹⁶. Θα μπορούσε εύκολα να εξαχθεί ότι στη θεμελιώδη κατάσταση της ηλεκτρονιακής δομής ενός τέτοιου μορίου οι καταστάσεις με άρτιες και περιττές τιμές του κβαντικού αριθμού περιστροφής είναι συμμετρικές και αντισυμμετρικές αντίστοιχα για μια αμοιβαία μετάθεση των χωρικών συντεταγμένων των δύο πυρήνων. Περαιτέρω, υπάρχουν μεταξύ των (2Ι+1)² καταστάσεων σπιν του ζεύγους των πυρήνων, (2Ι+1)Ι καταστάσεις συμμετρικές και (2Ι+1)Ι καταστάσεις αντισυμμετρικές ως προς τα σπιν, αφού οι (2Ι+1)Ι καταστάσεις με δύο σπιν στην ίδια κατεύθυνση είναι αναγκαστικά συμμετρικές. Ως εκ τούτου, προέκυψε το συμπέρασμα: αν η συνολική κυματοσυνάρτηση των χωρικών συντεταγμένων και του σπιν των πυρήνων είναι συμμετρική, ο λόγος του στατιστικού βάρους των καταστάσεων με άρτιο κβαντικό αριθμό περιστροφής προς το στατιστικό βάρος των καταστάσεων με περιττό κβαντικό αριθμό περιστροφής δίνεται από το (Ι+1)/Ι . Στην αντίστροφη περίπτωση μιας αντισυμμετρικής συνολικής κυματοσυνάρτησης των πυρήνων, ο ίδιος λόγος είναι Ι/(Ι+1) . Οι μεταβάσεις μεταξύ μιας κατάστασης με άρτιο και μιας άλλης κατάστασης με περιττό κβαντικό αριθμό περιστροφής θα είναι εξαιρετικά σπάνιες, καθώς μπορούν να προκληθούν μόνο από μια αλληλεπίδραση μεταξύ των τροχιακών κινήσεων και των σπιν των πυρήνων. Επομένως, ο λόγος των στατιστικών βαρών των περιστροφικών καταστάσεων με διαφορετική ομοτιμία θα οδηγήσει σε δύο διαφορετικά συστήματα συνεχών φασμάτων με διαφορετικές εντάσεις, οι γραμμές των οποίων εναλλάσσονται.

Το αποτέλεσμα της πρώτης εφαρμογής αυτής της μεθόδου ήταν ότι τα πρωτόνια έχουν σπιν 1/2 και πληρούν την απαγορευτική αρχή, όπως ακριβώς και τα ηλεκτρόνια. Οι αρχικές δυσκολίες για την ποσοτική κατανόηση της ειδικής θερμότητας των μορίων υδρογόνου σε χαμηλές θερμοκρασίες εξαλείφθηκαν με την υπόθεση του Dennison¹⁷, ότι σε αυτή τη χαμηλή θερμοκρασία η θερμική ισορροπία μεταξύ των δύο παραλλαγών του μορίου υδρογόνου (ορθο-Η₂: περιττοί κβαντικοί αριθμοί περιστροφής, παράλληλα σπιν πρωτονίων- παρα-H₂: άρτιοι κβαντικοί αριθμοί περιστροφής, αντιπαράλληλα σπιν) δεν είχε επιτευχθεί ακόμη. Ως γνωστόν, η υπόθεση αυτή επιβεβαιώθηκε αργότερα, από τα πειράματα των Bonhoeffer και Harteck και του Eucken, τα οποία έδειξαν τη θεωρητικά προβλεπόμενη αργή μετατροπή της μιας παραλλαγής στην άλλη.

Μεταξύ των κατηγοριών συμμετρίας για άλλους πυρήνες, εκείνες με διαφορετική ομοτιμία του μαζικού τους αριθμού M και του ατομικού τους αριθμού Z είναι ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Αν θεωρήσουμε ένα σύνθετο σύστημα αποτελούμενο από αριθμούς Α1, Α2, . . . διαφορετικών στοιχείων, καθένα από τα οποία πληροί την απαγορευτική αρχή, και έναν αριθμό S στοιχείων με συμμετρικές καταστάσεις, πρέπει να περιμένουμε συμμετρικές ή αντισυμμετρικές καταστάσεις αν το άθροισμα ΑΙ + Α2 + . . . είναι άρτιο ή περιττό. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από την ομοτιμία του . Παλαιότερα θεωρήθηκε πως οι πυρήνες αποτελούνται από πρωτόνια και ηλεκτρόνια, οπότε M είναι ο αριθμός των πρωτονίων, M-Z ο αριθμός των νετρονίων στον πυρήνα. Τότε έπρεπε να αναμένεται ότι η ομοτιμία του Z καθορίζει την τάξη συμμετρίας ολόκληρου του πυρήνα. Ήδη, εδώ και αρκετό καιρό, είναι γνωστό το αντιπαράδειγμα του αζώτου που έχει σπιν I=1 και συμμετρικές καταστάσεις¹⁸. Μετά την ανακάλυψη του νετρονίου, οι πυρήνες θεωρήθηκαν, ωστόσο, ότι αποτελούνται από πρωτόνια και νετρόνια κατά τρόπο, ώστε ένας πυρήνας με μαζικό αριθμό M και ατομικό αριθμό Z να αποτελείται από Z πρωτόνια και M-Z νετρόνια. Στην περίπτωση που τα νετρόνια θα είχαν συμμετρικές καταστάσεις, θα έπρεπε και πάλι να περιμένουμε ότι η ομοτιμία του ατομικού αριθμού Z καθορίζει την τάξη συμμετρίας των πυρήνων. Εάν, ωστόσο, τα νετρόνια ικανοποιούν την απαγορευτική αρχή, θα πρέπει να αναμένεται ότι η ομοτιμία του M καθορίζει την τάξη συμμετρίας : για ένα άρτιο M, θα πρέπει να έχουμε πάντα συμμετρικές καταστάσεις, για ένα περιττό M, αντισυμμετρικές. Ο τελευταίος κανόνας επιβεβαιώθηκε από το πείραμα χωρίς εξαίρεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι τα νετρόνια ικανοποιούν την απαγορευτική αρχή .

Το σημαντικότερο και απλούστερο κρίσιμο παράδειγμα για έναν πυρήνα με διαφορετική ομοτιμία M και Z είναι το βαρύ υδρογόνο ή δευτερόνιο με M = 2 και Z = 1, το οποίο έχει συμμετρικές καταστάσεις και σπιν I = 1 , όπως αποδεικνύεται από τη διερεύνηση των ταινιωτών φασμάτων ενός μορίου με δύο δευτερόνια¹⁹. Από την τιμή του σπιν I του δευτερονίου μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι το νετρόνιο πρέπει να έχει ημιακέραιο σπιν . Η απλούστερη δυνατή υπόθεση ότι το σπιν του νετρονίου είναι ίσο με 1/2, όπως ακριβώς και το σπιν του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου, αποδείχθηκε σωστή.

Υπάρχει η ελπίδα ότι περαιτέρω πειράματα με ελαφρείς πυρήνες, ιδίως με πρωτόνια, νετρόνια και δευτερόνια, θα μας δώσουν επιπλέον πληροφορίες για τη φύση των δυνάμεων μεταξύ των συστατικών των πυρήνων, η οποία, προς το παρόν, δεν είναι ακόμη αρκετά σαφής. Ήδη, όμως, τώρα μπορούμε να πούμε ότι οι αλληλεπιδράσεις αυτές είναι θεμελιωδώς διαφορετικές από τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Η σύγκριση μεταξύ της σκέδασης νετρονίου-πρωτονίου και της σκέδασης πρωτονίου-πρωτονίου έδειξε ακόμη ότι οι δυνάμεις μεταξύ αυτών των σωματιδίων είναι ίδιες κατά προσέγγιση, δηλαδή ανεξάρτητες από το ηλεκτρικό τους φορτίο. Αν έπρεπε να ληφθεί υπόψη μόνο το μέγεθος της ενέργειας αλληλεπίδρασης, θα έπρεπε συνεπώς να αναμένεται ένα σταθερό δι-πρωτόνιο ή M = 2, Z = 2 με σχεδόν την ίδια ενέργεια σύνδεσης με το δευτερόνιο. Μια τέτοια κατάσταση δεν επιτρέπεται, ωστόσο, από την απαγορευτική αρχή σύμφωνα με την εμπειρία, επειδή η κατάσταση αυτή θα αποκτούσε μια κυματοσυνάρτηση συμμετρική ως προς τα δύο πρωτόνια. Αυτό είναι μόνο το απλό παράδειγμα της εφαρμογής της απαγορευτικής αρχής στη δομή των σύνθετων πυρήνων, για την κατανόηση των οποίων η αρχή αυτή είναι απαραίτητη, διότι τα συστατικά αυτών των βαρύτερων πυρήνων, τα πρωτόνια και τα νετρόνια, την ικανοποιούν.

Προκειμένου να προετοιμαστούμε για τη συζήτηση πιο θεμελιωδών ζητημάτων, θέλουμε να τονίσουμε εδώ έναν νόμο της Φύσης που ισχύει γενικά, δηλαδή τη σχέση μεταξύ σπιν και τάξης συμμετρίας. Η ημιακέραια τιμή του κβαντικού αριθμού σπιν συνδέεται πάντα με αντισυμμετρικές καταστάσεις (απαγορευτική αρχή), μια ακέραια τιμή σπιν συνδέεται πάντα με συμμετρικές καταστάσεις. Ο νόμος αυτός ισχύει όχι μόνο για πρωτόνια και νετρόνια, αλλά και για πρωτόνια και ηλεκτρόνια. Επιπλέον, μπορεί εύκολα να φανεί ότι ισχύει και για σύνθετα συστήματα, αν ισχύει για όλα τα επιμέρους συστατικά τους. Αν αναζητήσουμε μια θεωρητική εξήγηση αυτού του νόμου, πρέπει να περάσουμε στη συζήτηση της σχετικιστικής κυματομηχανικής, αφού είδαμε ότι σίγουρα δεν μπορεί να εξηγηθεί από τη μη σχετικιστική κυματομηχανική.

Αρχικά εξετάζουμε τα κλασικά πεδία²⁰, τα οποία, όπως τα μονόμετρα μεγέθη, τα διανύσματα και οι τανυστές, μετασχηματίζονται σε σχέση με τις περιστροφές στον συνήθη χώρο σύμφωνα με μια μονοσήμαντη αναπαράσταση της ομάδας περιστροφής. Μπορούµε, στη συνέχεια, να ονοµάσουµε τα πεδία αυτά εν συντοµία «μονοσήμαντα» πεδία. Εφόσον δεν λαμβάνονται υπόψη αλληλεπιδράσεις διαφορετικών ειδών πεδίου, μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι συνιστώσες του πεδίου θα ικανοποιούν μια κυματική εξίσωση δεύτερης τάξης, επιτρέποντας την υπέρθεση επίπεδων κυμάτων ως γενική λύση. Η συχνότητα και ο κυματικός αριθμός αυτών των επίπεδων κυμάτων συνδέονται με έναν νόμο, ο οποίος, σύμφωνα με τη θεμελιώδη παραδοχή του De Broglie, μπορεί να προκύψει από τη σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής ενός σωματιδίου που ισχύει στη σχετικιστική μηχανική, με διαίρεση διά ενός σταθερού παράγοντα ίσου με τη σταθερά του Planck h διαιρεμένη με 2π. Επομένως, θα εμφανιστεί στις εξισώσεις του κλασικού πεδίου, μια νέα σταθερά μ με διάσταση αντίστροφου μήκους, με την οποία η μάζα ηρεμίας m στην σωματιδιακή εικόνα συνδέεται με τη σχέση m=hμ/c, όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Από την υποτιθέμενη ιδιότητα της μονοσήμαντης τιμής του πεδίου, προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο αριθμός των πιθανών επίπεδων κυμάτων για δεδομένη συχνότητα, αριθμό κυμάτων και κατεύθυνση διάδοσης είναι πάντα περιττός, για μη μεταβαλλόμενο μ. Χωρίς να υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες του γενικού ορισμού του σπιν, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτή την ιδιότητα της πόλωσης των επίπεδων κυμάτων ως χαρακτηριστική για πεδία τα οποία, ως αποτέλεσμα της κβάντωσής τους, δίνουν ακέραιες τιμές σπιν.

Οι απλούστερες περιπτώσεις μονοσήμαντων πεδίων, είναι το βαθμωτό πεδίο και ένα πεδίο που αποτελείται από ένα τετράνυσμα και έναν αντισυμμετρικό τανυστή, όπως τα δυναμικά και οι δυνάμεις πεδίου στη θεωρία του Maxwell. Ενώ το βαθμωτό πεδίο ικανοποιεί απλώς τη συνήθη κυματική εξίσωση δεύτερης τάξης στην οποία πρέπει να συμπεριληφθεί ο όρος που είναι ανάλογος του μ², το άλλο πεδίο πρέπει να ικανοποιήσει εξισώσεις που οφείλονται στον Proca και αποτελούν γενίκευση των εξισώσεων του Maxwell οι οποίες προκύπτουν στην ειδική περίπτωση όπου μ = 0. Είναι ικανοποιητικό ότι για αυτές τις απλούστερες περιπτώσεις μονοσήμαντων πεδίων, η πυκνότητα ενέργειας είναι μια θετικά ορισμένη τετραγωνική μορφή των πεδιακών μεγεθών και των πρώτων παραγώγων τους σε ένα ορισμένο σημείο. Για τη γενική περίπτωση των µονοσήµαντων πεδίων µπορεί τουλάχιστον να επιτευχθεί, ότι η συνολική ενέργεια που προκύπτει µετά την ολοκλήρωση στο χώρο είναι πάντα θετική.

Οι συνιστώσες του πεδίου μπορούν να θεωρηθούν είτε πραγματικές, είτε μιγαδικές. Για ένα μιγαδικό πεδίο, εκτός από την ενέργεια και την ορμή του πεδίου, μπορεί να οριστεί ένα τετράνυσμα το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας και μπορεί να ερμηνευτεί ως το τετράνυσμα του ηλεκτρικού ρεύματος. Η τέταρτη συνιστώσα του καθορίζει την πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου και μπορεί να λάβει τόσο θετικές, όσο και αρνητικές τιμές. Είναι πιθανό τα φορτισμένα μεσόνια που παρατηρούνται στις κοσμικές ακτίνες να έχουν ακέραια σπιν και έτσι να μπορούν να περιγραφούν από ένα τέτοιο σύνθετο πεδίο. Στην ειδική περίπτωση των πραγματικών πεδίων, αυτό το τετράνυσμα του ρεύματος είναι ταυτοτικά μηδέν.

Ιδιαίτερα, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες της ακτινοβολίας στη θερμοδυναμική ισορροπία στην οποία δεν παίζουν κανένα ρόλο οι συγκεκριμένες ιδιότητες των πηγών του πεδίου, φάνηκε να δικαιολογείται, αρχικά, η παράβλεψη της αλληλεπίδρασης του πεδίου με τις πηγές, κατά την τυπική διαδικασία κβαντισμού του πεδίου. Αντιμετωπίζοντας αυτό το πρόβλημα, έγινε προσπάθεια να εφαρμοστεί η ίδια μαθηματική μέθοδος μετάβασης από ένα κλασικό σύστημα σε ένα αντίστοιχο σύστημα που διέπεται από τους νόμους της κβαντομηχανικής, η οποία ήταν τόσο επιτυχής κατά τη μετάβαση από την κλασική μηχανική των υλικών σημείων στην κυματομηχανική. Δεν πρέπει να ξεχνάμε, ωστόσο, ότι ένα πεδίο μπορεί να παρατηρηθεί μόνο με τη βοήθεια της αλληλεπίδρασής του με σώματα δοκιμής, τα οποία είναι με τη σειρά τους και τα ίδια πηγές του πεδίου.

Τα αποτελέσματα της τυπικής διαδικασίας κβαντισμού των πεδίων ήταν, εν μέρει, πολύ ενθαρρυντικά. Τα κβαντισμένα πεδία κυμάτων μπορούν να χαρακτηριστούν από μια κυματοσυνάρτηση, η οποία εξαρτάται από μια άπειρη ακολουθία (μη αρνητικών) ακεραίων, ως μεταβλητές. Καθώς η συνολική ενέργεια και η συνολική ορμή του πεδίου και επίσης, στην περίπτωση των μιγαδικών πεδίων, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο του αποδεικνύονται γραμμικές συναρτήσεις αυτών των αριθμών, μπορούν να ερμηνευθούν ως ο αριθμός των σωματιδίων που υπάρχουν σε μια συγκεκριμένη κατάσταση ενός μεμονωμένου σωματιδίου. Χρησιμοποιώντας μια ακολουθία γενικευμένων χώρων καταστάσεων με διαφορετικό αριθμό διαστάσεων που αντιστοιχούν στις διαφορετικές δυνατές τιμές του συνολικού αριθμού των παρόντων σωματιδίων, θα μπορούσε εύκολα να αποδειχθεί ότι η περιγραφή του συστήματός μας με μια κυματοσυνάρτηση που εξαρτάται από ακέραιους αριθμούς, είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο σωματιδίων με κυματοσυναρτήσεις συμμετρικές στους χώρους διαμόρφωσής τους.

Επιπλέον, οι Bohr και Rosenfeld²¹ απέδειξαν στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, ότι οι σχέσεις αβεβαιότητας που προκύπτουν για τις μέσες τιμές των εντάσεων του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου από τους τυπικούς κανόνες μετάθεσης αυτής της θεωρίας, έχουν άμεσο φυσικό νόημα εφόσον οι πηγές μπορούν να αντιμετωπιστούν κλασικά και η ατομική τους δομή μπορεί να αγνοηθεί. Τονίζουμε την ακόλουθη ιδιότητα αυτών των κανόνων μετάθεσης: όλα τα φυσικά μεγέθη σε δύο χωροχρονικά σημεία , για τα οποία το τετράνυσμα της ευθείας που τα ενώνει είναι χωρικό, μετατίθενται μεταξύ τους. Αυτό είναι πράγματι απαραίτητο για φυσικούς λόγους, διότι οποιαδήποτε διαταραχή από μετρήσεις σε ένα χωροχρονικό σημείο P₁, μπορεί να φτάσει μόνο σε τέτοια χωροχρονικά σημεία P₂, για τα οποία το διάνυσμα P₁P₂, είναι χρονικό, δηλαδή για τα οποία c(t₁-t₂ ) > r₁₂ (όπου r₁₂ η χωρική απόσταση των δύο σημείων). Τα σημεία P₂ με διάνυσμα P₁P₂ που είναι χωρικό, για τα οποία c(t₁-t₂ ) > r₁₂, δεν μπορούν να προσεγγιστούν από αυτή τη διαταραχή και τότε οι μετρήσεις στα P₁ και P₂ δεν μπορούν ποτέ να αλληλοεπηρεαστούν.

Αυτή η συνέπεια, κατέστησε δυνατή τη διερεύνηση της δυνατότητας ύπαρξης σωματιδίων με ακέραιο σπιν, τα οποία θα υπάκουαν στην απαγορευτική αρχή. Τέτοια σωματίδια θα μπορούσαν να περιγραφούν από μια ακολουθία γενικευμένων χώρων καταστάσεων με διαφορετικές διαστάσεις και κυματοσυναρτήσεις αντισυμμετρικές στις συντεταγμένες αυτών των χώρων, ή ακόμα, από μια κυματοσυνάρτηση που εξαρτάται από ακέραιους αριθμούς όπου και πάλι πρέπει να ερμηνευθεί ως ο αριθμός των σωματιδίων που υπάρχουν σε συγκεκριμένες καταστάσεις, ο οποίος τώρα μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 0 ή 1. Οι Wigner και Jordan²² απέδειξαν ότι και σε αυτή την περίπτωση μπορούν να οριστούν τελεστές που είναι συναρτήσεις των συνηθισμένων χωροχρονικών συντεταγμένων και οι οποίοι μπορούν να εφαρμοστούν σε μια τέτοια κυματοσυνάρτηση. Οι τελεστές αυτοί δεν πληρούν πλέον κανόνες μετάθεσης: αντί για τη διαφορά, το άθροισμα των δύο πιθανών γινομένων δύο τελεστών, που διακρίνονται από τη διαφορετική τάξη των παραγόντων τους, καθορίζεται τώρα από τις μαθηματικές συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι τελεστές. Η απλή αλλαγή του πρόσημου σε αυτές τις συνθήκες αλλάζει εντελώς το φυσικό νόημα του φορμαλισμού. Στην περίπτωση της απαγορευτικής αρχής δεν μπορεί ποτέ να υπάρξει μια οριακή περίπτωση όπου οι τελεστές αυτοί μπορούν να αντικατασταθούν από ένα κλασικό πεδίο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό των Wigner και Jordan μπόρεσα να αποδείξω, υπό πολύ γενικές υποθέσεις, ότι μια σχετικιστικά αναλλοίωτη θεωρία που περιγράφει συστήματα ομοειδών σωματιδίων με ακέραιο σπιν που υπακούουν στην απαγορευτική αρχή, θα οδηγούσε πάντα στη μη μεταβλητότητα των φυσικών μεγεθών που συνδέονται με ένα χωρικό διάνυσμα²³. Αυτό θα παραβίαζε τη λογική φυσική αρχή που ισχύει για σωματίδια με συμμετρικές καταστάσεις. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, με το συνδυασμό των ισχυρισμών της σχετικιστικής αναλλοίωτης κατάστασης και των ιδιοτήτων της κβάντωσης του πεδίου, θα μπορούσε να γίνει ένα βήμα προς την κατεύθυνση κατανόησης της σύνδεσης του σπιν και της τάξης συμμετρίας.

Η κβάντωση των μονοσήμαντων μιγαδικών πεδίων με ένα μη μηδενικό τετράνυσμα του ηλεκτρικού ρεύματος δίνει περαιτέρω το αποτέλεσμα, ότι πρέπει να υπάρχουν σωματίδια τόσο με θετικό, όσο και με αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο και ότι μπορούν να εξαϋλωθούν και να δημιουργηθούν σε ένα εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο²². Αυτή η δημιουργία και η εξαΰλωση ζεύγους που προβλέπεται από τη θεωρία, καθιστά αναγκαία τη σαφή διάκριση της έννοιας της πυκνότητας φορτίου και της πυκνότητας σωματιδίων. Η τελευταία έννοια δεν εμφανίζεται σε μια σχετικιστική κυματική θεωρία, ούτε για πεδία που φέρουν ηλεκτρικό φορτίο, ούτε για ουδέτερα πεδία. Αυτό είναι ικανοποιητικό, αφού η χρήση της εικόνας των σωματιδίων και των σχέσεων αβεβαιότητας (για παράδειγμα από τον ανάλυση νοητικών πειραμάτων του τύπου μικροσκοπίου ακτίνων-γ) δίνει επίσης το αποτέλεσμα ότι ένας εντοπισμός του σωματιδίου είναι δυνατός μόνο με περιορισμένη ακρίβεια²⁴ . Αυτό ισχύει τόσο για τα σωματίδια με ακέραιο όσο και με ημιακέραιο σπιν. Σε μια κατάσταση με μέση τιμή ενέργειας E, που περιγράφεται από ένα κυματοπακέτο με μέση συχνότητα ν = E/h, ένα σωματίδιο μπορεί να εντοπιστεί μόνο με σφάλμα Δx > hc/E ή Δx > c/ν. Για τα φωτόνια, προκύπτει ότι το όριο για τον εντοπισμό είναι το μήκος κύματος- για ένα σωματίδιο με πεπερασμένη μάζα ηρεμίας m και χαρακτηριστικό μήκος μ^-1= ℏ/mc, το όριο αυτό είναι στο σύστημα ηρεμίας του κέντρου του κυματοπακέτου που περιγράφει την κατάσταση των σωματιδίων που δίνεται από την σχέση Δx > ℏ/mc ή Δx > μ^-1.

Μέχρι τώρα έχω αναφέρει μόνο εκείνα τα αποτελέσματα της εφαρμογής της κβαντομηχανικής σε κλασικά πεδία τα οποία είναι ικανοποιητικά. Είδαμε ότι τα συμπεράσματα αυτής της θεωρίας για τους μέσους όρους της έντασης του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου έχουν άμεση σημασία, ενώ αυτό δεν ισχύει για τις τιμές της έντασης του πεδίου σε ένα ορισμένο σημείο. Δυστυχώς, στην κλασική έκφραση της ενέργειας του πεδίου υπεισέρχονται μέσοι όροι των τετραγώνων των εντάσεων του πεδίου πάνω σε τέτοιες περιοχές, οι οποίοι δεν μπορούν να εκφραστούν με τους μέσους όρους των ίδιων των εντάσεων του πεδίου. Αυτό έχει ως συνέπεια η ενέργεια μηδενικού σημείου του κενού που προκύπτει από το κβαντισμένο πεδίο να γίνεται άπειρη, αποτέλεσμα που συνδέεται άμεσα με το γεγονός ότι το εξεταζόμενο σύστημα έχει άπειρο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Είναι σαφές, ότι αυτή η ενέργεια μηδενικού σημείου δεν έχει καμία φυσική πραγματικότητα, για παράδειγμα δεν είναι η πηγή ενός βαρυτικού πεδίου. Τυπικά, είναι εύκολο να αφαιρέσει κανείς σταθερούς άπειρους όρους οι οποίοι είναι ανεξάρτητοι από την εξεταζόμενη κατάσταση και δεν αλλάζουν ποτέ- παρ’ όλα αυτά μου φαίνεται ότι, ήδη, αυτό το αποτέλεσμα είναι μια ένδειξη ότι θα χρειαστεί μια θεμελιώδης αλλαγή στις έννοιες που διέπουν την παρούσα θεωρία των κβαντισμένων πεδίων.

Προκειμένου να αποσαφηνίσω ορισμένες πτυχές της σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας συζήτησα εδώ, διαφορετικά από την ιστορική σειρά των γεγονότων, πρώτα τα μονότιμα πεδία. Ήδη νωρίτερα ο Dirac²⁵ είχε διατυπώσει τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις του που αντιστοιχούν σε υλικά σωματίδια με σπιν 1/2 χρησιμοποιώντας ένα ζεύγος των λεγόμενων σπινόρων με δύο συνιστώσες ο καθένας. Εφάρμοσε τις εξισώσεις αυτές στο πρόβλημα ενός ηλεκτρονίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Παρά τη μεγάλη επιτυχία της θεωρίας αυτής στην ποσοτική εξήγηση της λεπτής υφής των ενεργειακών επιπέδων του ατόμου του υδρογόνου και στον υπολογισμό της διατομής σκέδασης ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο, υπήρχε ένα αποτέλεσμα της θεωρίας αυτής που προφανώς ερχόταν σε αντίθεση με την εμπειρία. Η ενέργεια του ηλεκτρονίου μπορεί να έχει, σύμφωνα με τη θεωρία, τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές και, σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, θα έπρεπε να συμβαίνουν μεταβάσεις από καταστάσεις με το ένα πρόσημο της ενέργειας, σε καταστάσεις με το αντίθετο πρόσημο. Από την άλλη πλευρά, υπάρχει στη θεωρία αυτή ένα τετράνυσμα που ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας με μια τέταρτη συνιστώσα που αντιστοιχεί σε μια πυκνότητα, η οποία είναι σίγουρα θετική.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει παρόμοια κατάσταση για όλα τα πεδία, τα οποία, όπως και οι σπίνορες, μετασχηματίζονται για περιστροφές στο συνηθισμένο χώρο σύμφωνα με αναπαραστάσεις με δύο συνιστώσες, αλλάζοντας έτσι το πρόσημό τους για μια πλήρη περιστροφή. Θα ονομάσουμε εν συντομία τέτοιες ποσότητες «δίτιμες». Από τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις τέτοιων ποσοτήτων μπορεί κανείς πάντα να εξάγει ένα τετράνυσμα διγραμμικό στις συνιστώσες του πεδίου, το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας και για το οποίο η τέταρτη συνιστώσα, τουλάχιστον μετά την ολοκλήρωση στο χώρο, δίνει μια ουσιαστικά θετική ποσότητα. Από την άλλη πλευρά, η έκφραση για τη συνολική ενέργεια μπορεί να έχει τόσο το θετικό, όσο και το αρνητικό πρόσημο.

Υπάρχει κάποιο μέσο για να μετατοπιστεί το αρνητικό πρόσημο από την ενέργεια πίσω στην πυκνότητα του τετραδιανύσματος; Με αυτόν τον τρόπο η τελευταία θα μπορούσε και πάλι να ερμηνευτεί ως πυκνότητα φορτίου σε αντίθεση με την πυκνότητα σωματιδίων και η ενέργεια θα γινόταν θετική, όπως θα έπρεπε να είναι. Γνωρίζετε ότι η απάντηση του Dirac ήταν, ότι αυτό θα μπορούσε πράγματι να επιτευχθεί με την εφαρμογή της απαγορευτικής αρχής. Στη διάλεξή που έδωσε εδώ στη Στοκχόλμη¹⁰, εξήγησε ο ίδιος την πρότασή του για μια νέα ερμηνεία της θεωρίας του, σύμφωνα με την οποία στο πραγματικό κενό όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας θα πρέπει να είναι κατειλημμένες και μόνο οι αποκλίσεις αυτής της κατάστασης της μικρότερης ενέργειας, δηλαδή οι οπές στη θάλασσα αυτών των κατειλημμένων καταστάσεων, υποτίθεται ότι είναι παρατηρήσιμες. Είναι η απαγορευτική αρχή που εγγυάται τη σταθερότητα του κενού, στο οποίο όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι κατειλημμένες. Επιπλέον, οι οπές έχουν όλες τις ιδιότητες σωματιδίων με θετική ενέργεια και θετικό ηλεκτρικό φορτίο, τα οποία σε εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία μπορούν να παραχθούν και να εξαϋλωθούν κατά ζεύγη. Αυτά τα προβλεπόμενα ποζιτρόνια, τα ακριβή κατοπτρικά είδωλα των ηλεκτρονίων, έχουν πράγματι ανακαλυφθεί πειραματικά.

Η νέα ερμηνεία της θεωρίας προφανώς εγκαταλείπει αρχικά τη θέση του προβλήματος του ενός σώματος και εξετάζει εξαρχής ένα πρόβλημα πολλών σωμάτων. Δεν μπορεί πλέον να ισχυριστεί κανείς ότι οι σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις του Dirac είναι οι μόνες δυνατές, αλλά αν θέλει κανείς να έχει σχετικιστικές εξισώσεις πεδίου που αντιστοιχούν σε σωματίδια, για τα οποία είναι γνωστή η τιμή 1/2 του σπιν τους, πρέπει οπωσδήποτε να υποθέσει τις εξισώσεις Dirac. Αν και είναι λογικά δυνατό να κβαντώσουμε αυτές τις εξισώσεις όπως τα κλασικά πεδία, πράγμα που θα έδινε συμμετρικές καταστάσεις ενός συστήματος που αποτελείται από πολλά τέτοια σωματίδια, αυτό θα ήταν σε αντίθεση με το αξίωμα ότι η ενέργεια του συστήματος πρέπει στην πραγματικότητα να είναι θετική. Το αξίωμα αυτό ικανοποιείται από την άλλη πλευρά, αν εφαρμόσουμε την απαγορευτική αρχή και την ερμηνεία του Dirac για το κενό και τις οπές, η οποία ταυτόχρονα αντικαθιστά τη φυσική έννοια της πυκνότητας φορτίου με τιμές και των δύο πρόσημων με την μαθηματική αφαίρεση της πυκνότητας θετικά φορτισμένων σωματιδίων. Ένα παρόμοιο συμπέρασμα ισχύει για όλες τις σχετικιστικές κυματικές εξισώσεις με δίτιμες ποσότητες ως συνιστώσες πεδίου. Αυτό είναι το άλλο βήμα (ιστορικά αυτό που προηγήθηκε) προς την κατεύθυνση της κατανόησης της σχέσης μεταξύ του σπιν και της τάξης συμμετρίας.

Μπορώ μόνο να σημειώσω εν συντομία, ότι η νέα ερμηνεία του Dirac για τις κενές και κατειλημμένες καταστάσεις αρνητικής ενέργειας μπορεί να διατυπωθεί πολύ κομψά με τη βοήθεια του φορμαλισμού των Jordan και Wigner που αναφέρθηκε προηγουμένως. Η μετάβαση από την παλαιά στη νέα ερμηνεία της θεωρίας μπορεί, πράγματι, να υλοποιηθεί απλώς με την ανταλλαγή της έννοιας ενός από τους τελεστές, με εκείνη του ερμητιανού συζυγούς του, αν αυτοί εφαρμόζονται σε καταστάσεις αρχικά αρνητικής ενέργειας. Το άπειρο «μηδενικό φορτίο» των κατειλημμένων καταστάσεων αρνητικής ενέργειας είναι τότε, τυπικά ανάλογο με την άπειρη ενέργεια μηδενικού σημείου των κβαντισμένων μονότιμων πεδίων. Το πρώτο δεν αντιστοιχεί επίσης σε καμία φυσική πραγματικότητα και δεν αποτελεί την πηγή ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Παρά την τυπική αναλογία μεταξύ της κβάντωσης των μονότιμων πεδίων που οδηγούν σε σύνολα ομοειδών σωματιδίων με συμμετρικές καταστάσεις και των σωματιδίων που πληρούν την απαγορευτική αρχή και περιγράφονται από δίτιμα φυσικά μεγέθη-τελεστές, που εξαρτώνται από τις συντεταγμένες χώρου και χρόνου, υπάρχει φυσικά η θεμελιώδης διαφορά ότι για τα τελευταία δεν υπάρχει οριακή περίπτωση, όπου οι μαθηματικοί τελεστές μπορούν να αντιμετωπιστούν όπως τα κλασικά πεδία. Από την άλλη πλευρά μπορούμε να αναμένουμε ότι οι δυνατότητες και οι περιορισμοί για τις εφαρμογές των εννοιών του χώρου και του χρόνου, οι οποίες βρίσκουν την έκφρασή τους στις διαφορετικές έννοιες της πυκνότητας φορτίου και της πυκνότητας σωματιδίου, θα είναι οι ίδιες για φορτισμένα σωματίδια με ακέραιο και με ημιακέραιο σπιν.

Οι δυσκολίες της παρούσας θεωρίας γίνονται πολύ χειρότερες, αν ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με την ύλη, αφού τότε εμφανίζονται οι γνωστοί απειρισμοί σχετικά με την ενέργεια ενός ηλεκτρονίου στο δικό του πεδίο, η λεγόμενη ιδιοενέργεια, ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του συνήθους φορμαλισμού διαταραχών σε αυτό το πρόβλημα. Η ρίζα αυτής της δυσκολίας φαίνεται να είναι το γεγονός ότι ο φορμαλισμός της κβάντωσης του πεδίου έχει άμεσο νόημα μόνο εφόσον οι πηγές του πεδίου μπορούν να θεωρηθούν ως συνεχώς κατανεμημένες, υπακούοντας στους νόμους της κλασικής φυσικής, και εφόσον χρησιμοποιούνται μόνο μέσοι όροι των μεγεθών του πεδίου σε πεπερασμένες περιοχές του χωροχρόνου. Τα ίδια τα ηλεκτρόνια, ωστόσο, είναι ουσιαστικά μη κλασικές πηγές πεδίου.

Στο τέλος αυτής της διάλεξης, µπορώ να εκφράσω την κριτική µου άποψη, ότι µια σωστή θεωρία δεν πρέπει να οδηγεί ούτε σε άπειρες ενέργειες µηδενικού σηµείου, ούτε σε άπειρα µηδενικά φορτία, ότι δεν πρέπει να χρησιµοποιεί µαθηµατικά τεχνάσµατα για την αφαίρεση απειροτήτων ή ιδιοµορφιών, ούτε πρέπει να εφευρίσκει έναν «υποθετικό κόσµο» που είναι µόνο µια µαθηµατική φαντασία πριν να είναι σε θέση να διατυπώσει τη σωστή ερµηνεία του πραγµατικού κόσµου της φυσικής.

Από την πλευρά της λογικής, η έκθεσή μου για την «Απαγορευτική Aρχή και Kβαντομηχανική» δεν έχει κανένα συμπέρασμα. Πιστεύω ότι θα είναι δυνατόν να γραφτεί το συμπέρασμα μόνο αν δημιουργηθεί μια θεωρία που θα προσδιορίζει την τιμή της σταθεράς λεπτής υφής και θα εξηγεί έτσι την ατομική δομή του ηλεκτρισμού, η οποία είναι μια τόσο ουσιαστική ιδιότητα όλων των ατομικών πηγών ηλεκτρικών πεδίων που εμφανίζονται πραγματικά στη Φύση.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Το πορτραίτο του Pauli φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Landé, A., 1921. Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil I). Z. Physik, 5, 231, https://doi.org/10.1007/BF01335014 ; R. Ladenburg, R., and Reiche, F., 1923. Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie. Naturwiss., 11584, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01554355.

2. Pauli, W., 1923. Über die Gesetzmäßigkeiten des anomalen Zeemaneffektes. Z. Physik,  16, 155, https://doi.org/10.1007/BF01327386.

3. Pauli, W., 1925. Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt. Z. Physik, 31, 373, https://doi.org/10.1007/BF02980592.

4. Stoner, E., C., 1924. The distribution of Electrons among Atomic Levels.Phil. Mag., 48, 719,
https://doi.org/10.1080/14786442408634535

5. Pauli, W., 1925. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im  Atom mit der Komplexstruktur der Spektren. Z. Physik, 31, 765, https://doi.org/10.1515/9783112596609-017.

6. Uhlenbeck, G.E., and Goudsmit, S.A., 1925. Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons. Naturwiss., 13, 953, http://dx.doi.org/10.1007/BF01558878; 1926. Spinning Electrons and the Structure of Spectra. Nature, 117, 264, https://doi.org/10.1038/117264a0.

7. Thomas, L.,H., 1926. The Motion of the Spinning Electron. Nature, 117, 514, https://doi.org/10.1038/117514a0 and 1927. I. The kinematics of an electron with an axis. Phil. Mag., 3, 1, https://doi.org/10.1080/14786440108564170. Συγκρίνετε επίσης με το Frenkel, J., 1926. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons. Z. Physik, 37, 243,  https://doi.org/10.1007/BF01397099.

8. Rapport du Sixième Conseil Solvay de Physique, Paris, 1932, pp. 217-225.

9. Για αυτό το πρώιμο στάδιο της ιστορίας της αρχής της απροσδιοριστίας, βλ. επίσης τη σημείωση του συγγραφέα στο Pauli, W., 1946. Remarks on the History of the Exclusion Theory. Science, 103, 213, https://doi.org/10.1126/science.103.2669.213, η οποία εν μέρει συμπίπτει με το πρώτο μέρος της παρούσας διάλεξης.

10. Οι διαλέξεις κατά την απονομή του βραβείου Νόμπελ των Heisenberg, Schrödinger και Dirac, έχουν περιληφθεί στο Die moderne Atomtheorie, Leipzig, 1934, https://katalog.bibliothek.kit.edu/cgi-bin/koha/opac-detail.pl?biblionumber=764635. Σε ελληνική απόδοση μπορείτε να τις διαβάσετε από τις σχετικές αναρτήσεις του InScience πατώντας πάνω στους συνδέσμους εδώ στα ονόματα των αντίστοιχων επιστημόνων.

11. Tα άρθρα του Bohr έχουν συγκεντρωθεί στον τόμο Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge University Press, 1934. Δείτε επίσης του άρθρο του Bohr, N., 1933. Light and Life*.Nature, 131, 421, 457, https://doi.org/10.1038/131457a0.

12. Heisenberg, W., 1926. Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik. Z. Physik, 38, 411, https://doi.org/10.1007/BF01397160 and Über die Spektra von Atomsystemen mit zwei Elektronen. Z. Physik, 39, 499, https://doi.org/10.1007/BF01322090.

13. Fermi, E., 1926. Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases. Z. Physik, 36, 902,  https://doi.org/10.1007/BF01400221. Dirac, P. A. M., 1926. On the theory of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London, A 112, 661, https://doi.org/10.1098/rspa.1926.0133.

14. Bose, S. N., 1924. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese. Z. Physik 26, 178,  https://doi.org/10.1007/BF01327326 and Wärmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie. Z. Physik, 27, 384, https://doi.org/10.1007/BF01328037. Einstein, A., 1924. Berl. Ber., 261; 1925. Einstein: The First Hundred Years, Berl. Ber., 1, 18.

15. Pauli, W., 1924. Zur Frage der theoretischen Deutung der Satelliten einiger Spektrallinien und ihrer Beeinflussung durch magnetische Felder. , 12, 741, https://doi.org/10.1007/BF01504828.

16. Heisenberg, W., 1927. Mehrkorperprobleme und Resonanz in der Quantenmechanik II. Physik, 41, 239, http://dx.doi.org/10.1007/BF01391241, Hund, F., 1927. Zur Deutung der Molekelspektren. II. Z. Physik, 42, 93, https://doi.org/10.1007/BF01397124.

17. Dennison, D. M., 1927. A note on the specific heat of the hydrogen molecule. Proc. Roy. Soc. London, A 115, 483, https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0105.

18. Kronig, R.d.L., 1928. Der Drehimpuls des Stickstoffkerns. Naturwiss.,16, 335, https://doi.org/10.1007/BF01505425. Heitler, W., und Herzberg, G., 1929. Gehorchen die Stickstoffkerne der Boseschen Statistik?. Naturwiss.,17, 673. https://doi.org/10.1007/BF01506505.

19. Lewis, G. N., and Ashley, M. F., 1933. The Spin of Hydrogen Isotope. Phys. Rev., 43, 837, https://doi.org/10.1103/PhysRev.43.837.2. Murphy, G. N., and Johnston, H., 1934. The Nuclear Spin of Deuterium. Phys. Rev., 45, 550, and 46, 95 https://doi.org/10.1103/PhysRev.46.95.

20. Compare for the following the author’s report in Pauli, W., 1941. Relativistic Field Theories of Elementary Particles. Rev. Mod. Phys., 13, 203, https://doi.org/10.1103/RevModPhys.13.203 in which older literature is given. See also Pauli, W. and Weisskopf, V., 1934. The Quantization of the Scalar Relativistic Wave Equation. Helv. Phys. Acta, 7, 809.

21. Bohr, N., and Rosenfeld, L., 1933. Danske Videnskab. Selskab. Nat. Fys. Medd., 12, 8

22. Jordan, P. and Wigner, E., 1928. Über das Paulische Äquivalenzverbot. Z. Physik, 47, 631, https://doi.org/10.1007/BF01331938. Συγκρίνετε επίσης με το Fock, V., 1932. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. Z. Physik, 75, 622, https://doi.org/10.1007/BF01344458.

23. Pauli, W., 1936. Théorie quantique relativiste des particules obéissant à la statistique de Einstein=Bose. Inst. Poincaré, 6, 137, http://eudml.org/doc/79000; 1940. The Connection Between Spin and Statistics. Phys. Rev., 58, 716, https://doi.org/10.1103/PhysRev.58.716.

24. Landau, L., Peierls, R., 1931. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die relativistische Quantentheorie. Z. Physik, 69, 56, https://doi.org/10.1007/BF01391513. Συγκρίνετε επίσης με το in Handbuch der Physik, 24, Μέρος 1, 1933, Κεφ. Α , § 2 .

25. Dirac, P. M. A., 1928. The quantum theory of the electron. Proc. Roy. Soc., A117, 610, https://doi.org/10.1098/rspa.1928.0023.