InScience Magazine

Tag: μαθηματικά

  • Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΘΗΡΙΟ Μια μνημειώδης περιπέτεια στο πεδίο των μαθηματικών

    Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΘΗΡΙΟ Μια μνημειώδης περιπέτεια στο πεδίο των μαθηματικών

    ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

    ΜΑΡΚ ΡΟΝΑΝ

     

    Μετάφραση: Γιάννης Κωτσόπουλος

    Σχεδιασμός εξωφύλλου: Ιάκωβος Ουρανός

     

    ISBN 978-618-230-162-3
    Διαστάσεις: 14 x 21 cm
    Αριθμός σελίδων: 264
    Τιμή: € 18
    Έτος Α! έκδοσης: 2026Περιγραφή

    Τα μαθηματικά εξελίσσονται αναζητώντας τη λύση σε μερικά σπουδαία προβλήματα, όπως είναι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ή η Εικασία του Πουανκαρέ. Ένα τέτοιο σπουδαίο πρόβλημα υπήρξε και η αναζήτηση του Θηρίου της συμμε­τρίας — μιας γιγάντιας χιονονιφάδας σε 196.884 διαστάσεις!

    Μέσα από μια συναρπαστικά γοργή αφήγηση που εκτείνεται σε δύο αιώνες, ο Μαρκ Ρόναν εξιστορεί πώς μπόρεσαν οι επιστήμονες να κατανοήσουν τη συμμετρία. Τούτη η περιπέτεια ουσιαστικά ξεκίνησε τον 19ο αιώνα από τον ιδιοφυή νεαρό Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έχασε με τραγικό τρόπο τη ζωή του σε μονομαχία μόλις 20 ετών. Τη νύχτα πριν πεθάνει κατέγραψε πυρετωδώς τις ανέκδοτες ανακαλύψεις του, χρησιμοποίησε τη συμμετρία για να κατανοήσει τις αλγεβρικές εξισώσεις και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν θεμελιώδεις δομικοί λίθοι ή «άτομα συμμετρίας». Οι περισσότεροι από τους λίθους αυτούς εντάσσονται σε έναν πίνακα, παρόμοιο με τον περιοδικό πίνακα των χημικών στοιχείων. Οι μαθηματικοί, ωστόσο, έχουν εντοπίσει 26 εξαιρέσεις. Η μεγαλύτερη εξαίρεση ονομάστηκε «Θηρίο» ή «Τέρας».

    Ο Μαρκ Ρόναν, ο οποίος γνώρισε προσωπικά τους επιστήμονες που δούλεψαν πάνω σε τούτο το πρόβλημα, αποκαλύπτει ότι στην αρχή το Θηρίο διαφαινόταν μόνον αμυδρά. Αλλά όσο περισσότεροι μαθηματικοί ασχολούνταν μαζί του τόσο σαφέστερη γινόταν η εικόνα του. Τελικά αποδείχθηκε πως ήταν κάτι υπέροχο, κάτι που παρέπεμπε σε βαθύτερες συνδέσεις ανάμεσα στη συμμετρία, τη θεωρία χορδών, αλλά και τον ίδιο τον ιστό και τη δομή του σύμπαντος.

    Περιεχόμενα

    Εισαγωγή
    Πρόλογος

    1. Το εικοσάεδρο του Θεαίτητου
      2. Γκαλουά: ο θάνατος μιας ιδιοφυΐας
      3. Άρρητες λύσεις
      4. Ομάδες
      5. Σόφους Λι
      6. Ομάδες Λι και φυσική
      7. Μετάβαση στο πεπερασμένο
      8. Μετά τον πόλεμο
      9. Ο άνθρωπος από το Ουκλ
      10. Το μεγάλο θεώρημα
      11. Το κουτί της Πανδώρας
      12. Το πλέγμα Λητς
      13. Τα θηρία του Φίσερ
      14. Ο Άτλας

    Bιογραφικά Συγγραφέα

    Ο Mark Ronan (1947) είναι αμερικανός μαθηματικός, Ομότιμος Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Ιλλινόι, στο Σικάγο, και Επίτιμος Καθηγητής στο Πανεπιστημιακό Κολέγιο του Λονδίνου. Στην αρχή της σταδιοδρομίας του εργάστηκε στο περίφημο πρόγραμμα της Ταξινόμησης και γνώρισε από κοντά τους νεό­τερους πρωταγωνιστές όλης αυτής της ιστορίας. Σήμερα εργάζεται πάνω στις γεωμετρικές δομές που εμφανίζουν συμμετρία, για τις οποίες έχει δημοσιεύσει πολλές ερευνητικές εργασίες, καθώς και ένα σύγγραμμα (Lectures on Buildings, Academic Press 1989, University of Chicago Press 2009).

    Εκτός από τα μαθηματικά, ο Mark Ronan είναι επίσης ειδικός στην ιστορία και τη φιλολογία της αρχαίας Μεσοποταμίας, ενώ αγαπά πολύ τη μουσική. Έχει εμφανιστεί σε τουλάχιστον δώδεκα παραγωγές της Λυρικής Όπερας του Σικάγου και έχει συμμετάσχει ως χορευτής στο μπαλέτο Καρυο­θραύστης του Τσαϊκόφσκι. Αρθρογραφεί τακτικά ως κριτικός λυρικού θεάτρου.

  • ΧΡΙΣΤΟΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ: ΕΝΑΣ ΓΙΓΑΝΤΑΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

    ΧΡΙΣΤΟΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ: ΕΝΑΣ ΓΙΓΑΝΤΑΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

    Θεοφάνης Γραμμένος,

    Αναπλ. Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

    Ο διεθνούς φήμης μαθηματικός, που ουσιαστικά λόγω των αριστερών φρονημάτων του αναγκάστηκε να εγκαταλείψει την πατρίδα του το 1949 και να μεταβεί στο Πρίνστον, παρέμεινε άγνωστος στο ευρύ ελληνικό κοινό αλλά υπήρξε πολύ περισσότερο γνωστός στο αμερικανικό κοινό που τον γνώρισε ως «Papa». Μέχρι τον θάνατό του το 1976,  έζησε μια ασκητική ζωή ολότελα αφιερωμένη στη μαθηματική έρευνα  χωρίς να δημιουργήσει δική του οικογένεια, ενώ διακρίθηκε στα Μαθηματικά διεθνώς για το έργο του και κυρίως για την απόδειξη τριών θεωρημάτων («the big theorems») της τοπολογίας ώστε δικαίως να θεωρείται σήμερα ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα.Η ΖΩΗ ΤΟΥ

    Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος γεννήθηκε στο Χαλάνδρι Αττικής τον Ιούνιο του 1914 ως ο μεγαλύτερος από τους δύο γιούς της εύπορης οικογένειας του Δημήτρη Παπακυριακόπουλου και της Ζωής Λίτσα. Μετά την αποφοίτησή του από το Βαρβάκειο, στο οποίο έχει περάσει μετά από εξετάσεις,  περνά από τους πρώτους στη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών του Ε.Μ.Π.  όπου έρχεται σε επαφή με τον καθηγητή Ανωτέρων Μαθηματικών και σπουδαίο μαθηματικό Νικόλαο Κριτικό. Ο τελευταίος,  αναγνωρίζοντας την κλίση, το ταλέντο και το πάθος του φοιτητή του για τα Μαθηματικά, τον παροτρύνει  και τελικά τον πείθει να μετεγγραφεί στη Μαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών από όπου ο Παπακυριακόπουλος αποφοιτά το 1938 με «άριστα». Στη διάρκεια των σπουδών του, ο Παπακυριακόπουλος μελετά με προσωπική του πρωτοβουλία το σύγγραμμα τοπολογίας των Pavel Alexandrov και Heinz Hopf και παρακολουθεί το ερευνητικό σεμινάριο του καθηγητή Παναγιώτη Ζερβού, ενώ αρχίζει να επικεντρώνεται σε θέματα γεωμετρικής τοπολογίας εμπνευσμένος από την εργασία του Ν. Κριτικού με τίτλο «Το θεώρημα του Jordan περί επιπέδων κλειστών γραμμών» που έχει δημοσιευτεί στο Δελτίο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας το 1936. Το 1937 αλληλογραφεί με τον Κ. Καραθεοδωρή (Σπανδάγος, 2008) και του στέλνει την εργασία του για τις κλειστές καμπύλες Jordan, ενώ ως τελειόφοιτος συγγράφει δύο εργασίες τις οποίες δημοσιεύει στο Δελτίο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας το 1938 (βλ. κατάλογο επιστημονικών δημοσιεύσεων του Χ. Παπακυριακόπουλου στο τέλος του άρθρου). Τη διετία 1939-1940 εργάζεται ως άμισθος βοηθός του Ν. Κριτικού στην Α΄ Έδρα Ανωτέρων Μαθηματικών του Ε.Μ.Π., ενώ σύντομα καλείται να υπηρετήσει τη στρατιωτική θητεία του και πολεμά ως στρατιώτης στο αλβανικό μέτωπο. Τον Οκτώβριο 1941 διορίζεται, μετά από εισήγηση του Ν. Κριτικού, ως έκτακτος άμισθος επιμελητής με διετή θητεία (που παρατείνεται μέχρι το 1945), ενώ παράλληλα και κάτω από δύσκολες συνθήκες συνεχίζει  στη Μαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών την εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής του με θέμα «Περί μίας νέας μεθόδου αποδείξεως του αναλλοιώτου των ομολογικών συμπλεγμάτων ενός συμπλόκου», την οποία ολοκληρώνει το 1943 και αναγορεύεται διδάκτωρ των Μαθηματικών με εισηγητή τον Παναγιώτη Ζερβό, σύμβουλο τον Νικόλαο Κριτικό, και με σύσταση του Κ. Καραθεοδωρή (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014). Η πρωτοτυπία της διατριβής του έγκειται, μεταξύ άλλων, στην εντελώς διαφορετική αποδεικτική μεθοδολογία από εκείνη την οποία εισήγαγαν για τη μελέτη της τοπολογίας τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων οι Herbert Seifert και William Threlfall το 1934 σε ένα από τα πρώτα συγγράμματα αλγεβρικής τοπολογίας που κυκλοφόρησαν διεθνώς, το Lehrbuch der Topologie. Η διατριβή του Παπακυριακόπουλου είναι η πρώτη ελληνική διατριβή στην Τοπολογία και, ειδικότερα, η πρώτη ελληνική εργασία στην αλγεβρική τοπολογία.

    Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος υπήρξε ένας πολύ προοδευτικός άνθρωπος που εμπνεόταν από αριστερές ιδέες. Στο δημοψήφισμα του 1935 ψηφίζει κατά της επανόδου του Γεωργίου Β΄, ενώ στη διάρκεια της Κατοχής γίνεται ενεργό μέλος της Αντίστασης εντασσόμενος στο εαμικό κίνημα (στην οργάνωση του ΕΑΜ στο ΕΜΠ, όπως και ο Νικόλαος Κριτικός) και μετατρέποντας το σπίτι του σε τόπο συνεδριάσεων και καταφύγιο διωκόμενων αντιστασιακών (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014). Συμμετέχει στο μεγάλο συλλαλητήριο στις 3 Δεκεμβρίου 1944 στην Αθήνα και στις 25 Δεκεμβρίου, ακολουθώντας τον ΕΛΑΣ, εγκαταλείπει την Αθήνα και καταλήγει στον Παλαμά Καρδίτσας όπου διδάσκει αριθμητική στο μονοθέσιο δημοτικό σχολείο. Τον Σεπτέμβριο  1944 ο αδελφός του σκοτώνεται στη βόρεια Ιταλία πολεμώντας με την Ταξιαρχία Ρίμινι. Μετά τη Συμφωνία της Βάρκιζας, τον Φεβρουάριο 1945, επιστρέφει στην Αθήνα, ενώ στις 16 Ιουλίου 1945 απολύεται από το Ε.Μ.Π. ως στιγματισμένος κομμουνιστής και λόγω της συμμετοχής του στην εαμική αντίσταση. Όμως στα τέλη του Οκτωβρίου 1945, ο τότε πρύτανης του ΕΜΠ Θ. Βαρούνης, ο οποίος έχει αναλάβει πρυτανικά καθήκοντα στη θέση του Νικολάου Κιτσίκη που έχει απολυθεί επίσης λόγω της συμμετοχής του στο ΕΑΜ, ανακαλεί την απόλυση του Παπακυριακόπουλου επειδή τον θεωρεί απαραίτητο για το Ίδρυμα. Ωστόσο, η Ασφάλεια παρακολουθεί τον Παπακυριακόπουλο και, καθώς το κλίμα γίνεται ολοένα και πιο βαρύ και προκειμένου να αποφύγει την οριστική απόλυσή του, υποβάλλει την παραίτησή του το 1946. Την ίδια χρονιά απολύονται οριστικά από το Πολυτεχνείο λόγω των αριστερών φρονημάτων και της αντιστασιακής δράσης τους ο Νικόλαος Κριτικός, καθώς επίσης ο σπουδαίος θεωρητικός φυσικός Αχιλλέας Παπαπέτρου και ο αρχιτέκτων Ιωάννης Δεσποτόπουλος.

    Στα 1947, ο Παπακυριακόπουλος αποφασίζει να επικοινωνήσει με τον Αμερικανό τοπολόγο, μαθητή του Solomon Lefschetz, και καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον στις ΗΠΑ, Ralph Fox, στον οποίο στέλνει μια απόδειξη του Λήμματος του Dehn. Αν και ο Fox εντοπίζει κάποιο σφάλμα στην απόδειξη του Παπακυριακόπουλου, εντυπωσιάζεται από τις μαθηματικές ικανότητές του και το 1948 τον προσκαλεί στο Τμήμα Μαθηματικών του Πρίνστον σε μια ερευνητική θέση χωρίς διδακτικά καθήκοντα. Πράγματι, ο Παπακυριακόπουλος ταξιδεύει στις ΗΠΑ το 1949. Λίγο καιρό μετά την αναχώρησή του και μέσω της ελληνικής πρεσβείας στην Ουάσινγκτον, η Ασφάλεια τον καταγγέλλει στις αμερικανικές αρχές ως «επικίνδυνο κομμουνιστή» ζητώντας την απέλασή του, αλλά με τη στήριξη του Πανεπιστημίου του Πρίνστον η απέλαση αποτρέπεται (Δοξιάδης, 2004). Το 1950 πεθαίνει η μητέρα του και το 1952 ο πατέρας του για την κηδεία του οποίου επιστρέφει στην Ελλάδα για τελευταία φορά[1]. Τότε συντάσσει και τη διαθήκη του με την οποία, από τη μεγάλη αγάπη που έτρεφε προς το ΕΜΠ, το καθιστά γενικό κληρονόμο του ζητώντας να περιέλθει σε αυτό «άπασα η κινητή και ακίνητη περιουσία του» (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014).

    Ο Παπακυριακόπουλος, ο οποίος στο μεταξύ είναι γνωστός στη μαθηματική κοινότητα ως «Papa», ζει στο Πρίνστον μια πραγματικά ασκητική ζωή. Εργάζεται στο γραφείο του πολλές ώρες κάθε μέρα από τις 8.30 π.μ. μέχρι αργά το βράδυ, ακολουθώντας ένα πολύ αυστηρό πρόγραμμα μελέτης και έρευνας υπό τους ήχους της μουσικής του αγαπημένου του Βάγκνερ, είναι εσωστρεφής και απόμακρος, μοιράζεται δύσκολα τις ιδέες του, είναι απρόθυμος να αναλάβει οποιαδήποτε διδακτικά και διοικητικά καθήκοντα με αποτέλεσμα να μην έχει φοιτητές, δεν συνδέεται με κανέναν έξω από το εργασιακό περιβάλλον του, και γενικά διάγει έναν σπαρτιατικά λιτό βίο χωρίς παρέες και με ελάχιστους φίλους. Λέγεται ότι έζησε επί 25 χρόνια στο ίδιο μικρό δωμάτιο ξενοδοχείου στο οποίο κατέλυσε όταν έφθασε στις ΗΠΑ. Ο Παπακυριακόπουλος έχει ήδη γίνει ένας θρύλος στο Πρίνστον. Το 1954, σε επίσκεψή του στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών (IAS) ο Einstein ζητά να τον γνωρίσει, ενώ την ίδια χρονιά  δεν αποδέχεται την πρόταση του Κ. Παπαϊωάννου, καθηγητή Εφαρμοσμένης Μηχανικής στο ΕΜΠ, να επιστρέψει στην Ελλάδα (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014). Από τον Ιούνιο 1955 έως τον Σεπτέμβριο 1958 ο Παπακυριακόπουλος εκλέγεται μέλος του IAS, όπου από τον Σεπτέμβριο 1958 έως τον Σεπτέμβριο 1959 προάγεται σε Ερευνητικό Συνεργάτη (Research Associate), στη συνέχεια έως τον Σεπτέμβριο 1962 σε Κύριο Ερευνητικό Συνεργάτη (Senior Research Associate), και από το 1962 έως το 1976 σε Κύριο Ερευνητή Μαθηματικό (Senior Research Mathematician) (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014).  Το 1961, ο Νικόλαος Κριτικός, εκφράζοντας και τη βούληση άλλων καθηγητών Μαθηματικών του ΕΜΠ, προτείνει με επιστολή του στον Παπακυριακόπουλο να επιστρέψει στην Ελλάδα και να καταλάβει τη θέση του πρώτου στο ΕΜΠ, αλλά ο Παπακυριακόπουλος αρνείται ευγενικά προκειμένου να αφιερωθεί στο ερευνητικό έργο του στο Πρίνστον (Λαμπροπούλου & Νικολακοπούλου, 2014). Τον Σεπτέμβριο 1964, με εισήγηση του καθηγητή Κ.Παπαϊωάννου, εκλέγεται  αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Αθηνών (Σπανδάγος, 2008). Το 1977 η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία του αφιερώνει τον 18ο Τόμο του Δελτίου της, καθώς και το 7ο Βαλκανικό Συνέδριο Μαθηματικών που διεξάγεται στο ΕΜΠ το 1983. Το 2000, το Συνέδριο Μαθηματικής Ανάλυσης και Εφαρμογών που διεξήχθη στο ΕΜΠ είναι επίσης αφιερωμένο στον Χρίστο Παπακυριακόπουλο, ενώ το 2008 ο Τομέας Μαθηματικών του ΕΜΠ οργανώνει στη μνήμη του το 8ο Συνέδριο Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογών. Το 2014, ο Τομέας Μαθηματικών του ΕΜΠ διοργανώνει ημερίδα για τα 100 χρόνια από τη γέννηση του Παπακυριακόπουλου με ομιλητές, μεταξύ άλλων, τον Δημήτρη Χριστοδούλου τον Μιχάλη Δαφέρμο, και τον Louis H. Kauffman. Ίσως η σπουδαιότερη παρακαταθήκη του Παπακυριακόπουλου να είναι το Κληροδότημα Χρίστου Παπακυριακόπουλου, το οποίο ιδρύθηκε στη βάση της διαθήκης του. Πράγματι,  με μια σειρά αποφάσεων της Συγκλήτου του ΕΜΠ (1998, 2002, και 2008) έχει αποφασιστεί  τα έσοδα του Κληροδοτήματος  να διατίθενται από τον Τομέα Μαθηματικών του ΕΜΠ για (α) Βράβευση προπτυχιακών φοιτητών για την επίδοσή τους στα Μαθηματικά, (β) Υποτροφίες σε υποψήφιους διδάκτορες του Τομέα Μαθηματικών («Υποτροφίες Χρίστου Παπακυριακόπουλου») (γ) Διεξαγωγή συνεδρίων ή ημερίδων στη μνήμη του Χ. Παπακυριακόπουλου, (δ) Πρόσκληση επιστημόνων διεθνούς κύρους για σειρά διαλέξεων και σεμιναρίων, (ε) Κάλυψη δαπανών για τη μετάφραση ή/και έκδοση βιβλίων, (στ) Οποιονδήποτε σκοπό που αποβλέπει στην ενίσχυση ή βελτίωση του ερευνητικού ή διδακτικού έργου του Τομέα Μαθηματικών.

    Το 1976 ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος προγραμματίζει να επισκεφθεί την Ελλάδα για πρώτη φορά μετά το 1952. Όμως δεν θα προλάβει, καθώς στις 29 Ιουνίου, σε ηλικία 62 ετών, φεύγει από τη ζωή από καρκίνο του στομάχου. Οι στάχτες του είναι θαμμένες στο Πρίνστον.

    Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος με τη μητέρα και τη γιαγιά του στα 1948 (Σπανδάγος, 2008).

    ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΟ

    Πρέπει ευθύς εξαρχής να τονιστεί ότι το σύνολο του ερευνητικού έργου του Παπακυριακόπουλου διακρίνεται για τη μαθηματική αρτιότητά του. Το κύριο ερευνητικό ενδιαφέρον του εστιαζόταν στη χαμηλοδιάστατη (ή γεωμετρική) τοπολογία, δηλαδή στη μελέτη πολλαπλοτήτων ή γενικότερα τοπολογικών χώρων διάστασης μικρότερης ή ίσης του 4, με έμφαση στις τρεις διαστάσεις.  Παρακολουθώντας τα μαθήματα των καθηγητών Ralph Fox και Norman Steenrod, συγγράφει την πρώτη του εργασία με τίτλο On the ends of knot groups που δημοσιεύεται το 1955. Το κύριο αποτέλεσμα που αποδεικνύεται σε αυτήν είναι πως «αν ισχύει η ασφαιρικότητα των κόμβων, τότε μια ομάδα κόμβων έχει ένα ή δύο πέρατα αναλόγως του αν ο κόμβος είναι αλγεβρικά δεμένος ή είναι λυμένος (unknotted)». Το 1957 δημοσιεύει τρεις εργασίες, μία περί στερεών τόρων (On solid tori)[2] στην οποία αποδεικνύει τρία θεωρήματα ένα από τα οποία είναι το πλέον διάσημο θεώρημα του βρόχου[3], μία εργασία περί των περάτων των θεμελιωδών ομάδων 3-πολλαπλοτήτων με σύνορο (On the ends of the fundamental groups of 3-manifolds with boundary) στην οποία απαντά αυστηρά στο ερώτημα περί του πότε ο αριθμός των περάτων μιας συμπαγούς 3-πολλαπλότητας[4] με σύνορο, της οποίας οι συνιστώσες είναι προσανατολίσιμες κλειστές επιφάνειες θετικού γένους, είναι 1, 2, ή άπειρα, και ακόμη μία εργασία περί του Λήμματος του Dehn και της ασφαιρικότητας κόμβων (On Dehn’s Lemma and the asphericity of knots), την οποία έχει αφιερώσει στον Νικόλαο Κριτικό, και όπου αποδεικνύει το Λήμμα του Dehn και το θεώρημα της σφαίρας. Λόγω της ιδιαίτερης σπουδαιότητας που έχει το Λήμμα του Dehn για την Εικασία του Poincaré[5] αλλά και γενικότερα για τη γεωμετρική τοπολογία, κρίνεται σκόπιμο να αναφερθούμε συνοπτικά σε αυτό (βλ. (Νικολακοπούλου, 2010) για περισσότερες λεπτομέρειες). Πρόκειται για την εξαιρετικά ενδιαφέρουσα Διπλωματική της Α. Νικολακοπούλου που εκπονήθηκε το 2010 στον Τομέα Μαθηματικών της ΣΕΜΦΕ, στο ΕΜΠ, υπό την επίβλεψη της Καθηγήτριας Σοφίας Λαμπροπούλου). Ο Γερμανός Max Dehn, φοιτητής του Hilbert στο Πανεπιστήμιο του Göttingen, διετύπωσε το 1910 την εξής ιδέα που έγινε γνωστή ως Λήμμα του Dehn: Έστω M μια 3-πολλαπλότητα και 𝑓:𝐷→𝑀  η συνεχής απεικόνιση ενός δίσκου 𝐷 χωρίς αυτο-τομές στο σύνορο (δηλαδή με 𝜕D το σύνορο, αν 𝑥∈𝜕D τότε για οποιοδήποτε 𝑦∈𝐷  με 𝑥≠𝑦 , ισχύει 𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑦), τότε υπάρχει εμφύτευση (embedding) 𝑔:𝐷→𝑀 ώστε 𝑔(𝜕D)=𝑓(𝜕D) . Ο Dehn ισχυρίστηκε ότι είχε βρει και μια απόδειξη αυτής της ιδέας, όμως το 1929 ο Γερμανός Hellmuth Kneser εντόπισε ένα σημαντικό κενό στην απόδειξη αυτή κι έτσι το Λήμμα του Dehn παρέμενε αναπόδεικτο μέχρι το 1957, όταν ο Παπακυριακόπουλος, βασιζόμενος σε δύο εργασίες του Νορβηγού μαθηματικού I. Johansson από το 1935 και το 1938, αντίστοιχα, καθώς και στην κατασκευή ενός πύργου από χώρους επικάλυψης, έδωσε την πλήρη απόδειξη του Λήμματος του Dehn. Στην ίδια εργασία, ο Παπακυριακόπουλος απέδειξε οριστικά και το θεμελιώδες για τη γεωμετρική τοπολογία θεώρημα της σφαίρας, το οποίο είχε αποπειραθεί να αποδείξει ο H. Kneser στα 1928. Σύμφωνα με αυτό, αν 𝑀 είναι μια προσανατολίσιμη 3-πολλαπλότητα με 𝜋2(𝑀)≠{0} , τότε υπάρχει 2-σφαίρα 𝑆2 εμφυτευμένη στην 𝑀 που δεν είναι συσταλτή στην 𝑀, όπου 𝜋2(𝑀) η δεύτερη ομάδα ομοτοπίας της . Ο Παπακυριακόπουλος παρουσίασε τα αποτελέσματα αυτά το 1958 στο Άμστερνταμ ως προσκεκλημένος ομιλητής στην Ετήσια Συνάντηση της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, στο πλαίσιο ομιλίας με τίτλο «Ορισμένα προβλήματα επί των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων». Τα αποτελέσματα παρουσιάστηκαν επίσης την ίδια χρονιά στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών (ICM) στο Εδιμβούργο σε ομιλία με τίτλο «Η θεωρία των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων μετά το 1950», την οποία ανέγνωσε ο John H.C. Whitehead, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, ανεψιός του Alfred N. Whitehead και ένας από τους επινοητές της θεωρίας ομοτοπίας. Για τις εργασίες του στους στερεούς τόρους και την απόδειξη του Λήμματος του Dehn και του θεωρήματος της σφαίρας, ο Παπακυριακόπουλος τιμήθηκε το 1964 από την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία με το σημαντικότερο διεθνές βραβείο γεωμετρίας, το Βραβείο Oswald Veblen, το οποίο θεσμοθετήθηκε προς τιμήν ενός από τους σημαντικότερους γεωμέτρες του 20ου αιώνα, του Αμερικανού Oswald Veblen, και απονεμήθηκε για πρώτη φορά εκείνη τη χρονιά[6]. Τα χρόνια που ακολούθησαν ο Παπακυριακόπουλος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του βρόχου, το θεώρημα της σφαίρας, και το Λήμμα του Dehn, συνέχισε τις προσπάθειές του να αποδείξει την Εικασία του Poincaré. Τελικά, η απόδειξή της δόθηκε από τον Ρώσο γεωμέτρη Grigori Y. Perelman σε τρεις εργασίες το 2002 και το 2003[7].

    Τέλος, ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος, υπήρξε πηγή έμπνευσης και στη λογοτεχνία. Πράγματι, για τον μαθηματικό και συγγραφέα Απόστολο Δοξιάδη, ο οποίος έκανε μια σύντομη γνωριμία με τον Χρίστο Παπακυριακόπουλο στα 1971/1972, ο κύριος χαρακτήρας του μυθιστορήματός του «Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ» θυμίζει πολύ τον Παπακυριακόπουλο. Μάλιστα, τον Νοέμβριο 2014, σε εκδήλωση που διοργάνωσε η ομάδα «Θαλής και φίλοι» στο Μουσείο Μπενάκη ο Απόστολος Δοξιάδης έδωσε ομιλία με θέμα «Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος κι ο θείος Πέτρος», ενώ στην ίδια εκδήλωση το θέμα της ομιλίας του καθηγητή Μαθηματικών στο ΕΚΠΑ, Αντώνη Μελά, ήταν «Ο μαγικός πύργος του Παπακυριακόπουλου και η Εικασία του Πουανκαρέ»[8].ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

    [1] Το 1954 πέθανε ο τελευταίος συγγενής του Παπακυριακόπουλου, η γιαγιά του από την πλευρά της μητέρας του. Έκτοτε και μέχρι τον θάνατό του έζησε μόνος χωρίς άλλη οικογένεια.
    [2] Ο στερεός τόρος είναι ένας τόρος μαζί με το εσωτερικό του.
    [3] Θεώρημα βρόχου: Έστω 𝑀 3-πολλαπλότητα με σύνορο ∂𝑀≠∅ και 𝐿⊂∂𝑀, όπου 𝐿 βρόχος συσταλτός στην πολλαπλότητα 𝑀 αλλά όχι συσταλτός στο σύνορο ∂𝑀. Τότε υπάρχει απλή και κλειστή καμπύλη με τις ίδιες ιδιότητες.
    [4] Δηλαδή, μιας πολλαπλότητας σε κάθε σημείο της οποίας υπάρχει μια περιοχή ομοιομορφική με σφαίρα.
    [5] Εικασία του Poincaré (1904): Οποιαδήποτε 3-πολλαπλότητα που είναι ομοτοπικά ισοδύναμη με τη σφαίρα S3, είναι ομοιομορφική με την S3.
    [6] Το 1964 το Βραβείο Oswald Veblen απονεμήθηκε επίσης στον Raoul Bott για τις εργασίες του σχετικά με τον χώρο βρόχων επί μιας ομάδας Lie και για την ευσταθή ομοτοπία των κλασικών ομάδων. Το 2025 το βραβείο απονεμήθηκε από κοινού στην Ιρανή Soheyla Feyzbakhsh και τον Βρετανό Richard P.W. Thomas για το έργο τους στην αλγεβρική γεωμετρία.
    [7] Στις εργασίες αυτές ο Perelman βασίστηκε στο έργο του Richard S. Hamilton σχετικά με τη ροή Ricci, ενώ απέδειξε επίσης την Εικασία Γεωμετροποίησης του Thurston.
    [8] Οι ομιλίες υπάρχουν στην ηλεκτρονική διεύθυνση https://www.blod.gr/lectures/hristos-papakyriakopoulos-o-megalos-agnostos-ton-ellinikon-mathimatikon/#.VGnbesoo2tE.wordpressΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

    Δοξιάδης, Απ., 2004. Ο «Πάπα» και η Υπόθεση του Πουανκαρέ. Popular Science, Νοέμβριος.

    Λαμπροπούλου, Σ., και Νικολακοπούλου, Α., 2014.  Χρίστος Παπακυριακόπουλος: Βιογραφικά Στοιχεία (παρουσίαση στην ημερίδα που διοργανώθηκε από το Ε.Μ.Π. στις 22 Δεκεμβρίου 2014 για τα 100 χρόνια από τη γέννηση του Χ. Παπακυριακόπουλου).

    Νικολακοπούλου, Α., 2010. Ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος και το Λήμμα του Dehn. Διπλωματική Εργασία, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Ε.Μ.Π.

    Σπανδάγος, Ε., 2008. Χρίστος Παπακυριακόπουλος, ο ερημίτης του Πρίνστον. Αθήνα: Αίθρα.

    ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ

    Papakyriakopoulos, Ch., 1938. Περί μιας δείκτριας των επιπέδων κλειστών καμπυλών του Jordan. Bull. Soc. Math. Grèce 18, 84-92.

    Papakyriakopoulos, Ch., 1938. Περί μιας αποδείξεως του θεωρήματος του Jordan διά τας ομωνύμους επιπέδους κλειστάς καμπύλας. Bull. Soc. Math. Grèce 19, 44-54.

    Papakyriakopoulos, Ch., 1939. Περί των κλειστών καμπυλών του Jordan του χώρου Rn. Bull. Soc. Math. Grèce 19, 97-126.

    Papakyriakopoulos, Ch., 1946. Περί μίας νέας μεθόδου αποδείξεως του αναλλοιώτου των ομολογικών συμπλεγμάτων ενός συμπλόκου. Bull. Soc. Math. Grèce 22, 1-154.

    Papakyriakopoulos, C.D., 1955. On the ends of knot groups. Ann. of Math., II. Ser. 62, 293-299. https://www.jstor.org/stable/1969683

    Papakyriakopoulos, C.D., 1957. On solid tori. Proc. London Math. Soc., III. Ser. 7, 281-299. https://academic.oup.com/plms/article-abstract/s3-7/1/281/1458284

    Papakyriakopoulos, C.D., 1957. On the ends of the fundamental groups of 3-manifolds with boundary. Commentarii Math. Helvet. 32, 85-92. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF02564572.pdf

    Papakyriakopoulos, C.D., 1957. On Dehn’s lemma and the asphericity of knots. Ann. of Math., II. Ser. 66, 1-26. https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.43.1.169

    Papakyriakopoulos C.D., 1957, On Dehn’s lemma and the asphericity of knots. Proc. Nat. Acad. Sc., 43, 169-172. https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.43.1.169

    Papakyriakopoulos, C.D., 1958. Some problems on 3-dimensional manifolds. Bull. Am. Math. Soc. 64, 317-335. https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-64/issue-6/Some-problems-on-3-dimensional-manifolds/bams/1183522840.pdf

    Papakyriakopoulos, C.D., 1960. The theory of three-dimensional manifolds since 1950. Proc. Int. Congr. Math. 1958, 433-440.

    Papakyriakopoulos, C.D., 1962. A reduction of the Poincaré conjecture to other conjectures. Bull. Am. Math. Soc. 68, 360-366. https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-68/issue-4/A-reduction-of-the-Poincar%C3%A9-conjecture-to-other-conjectures/bams/1183524675.pdf

    Papakyriakopoulos, C.D., 1963. A reduction of the Poincaré conjecture to other conjectures II. Bull. Am. Math. Soc. 69, 399-401. https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-69/issue-3/A-reduction-of-the-Poincar%C3%A9-conjecture-to-other-conjectures-II/bams/1183525269.pdf

    Papakyriakopoulos, C.D., 1963. A reduction of the Poincaré conjecture to group theoretic conjectures. Ann. Math., II. Ser. 77, 250-305. https://www.jstor.org/stable/1970216

    Papakyriakopoulos, C.D., 1963. Attaching 2-dimensional cells to a complex. Ann. Math., II. Ser. 78, 205-222. https://www.jstor.org/stable/1970340

    Papakyriakopoulos, C.D., 1975. Planar regular coverings of orientable closed surfaces. Knots, Groups, 3-Manif.; Paper dedicated to the memory of R. H. Fox, 261-292. https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/neuwir3.pdf#page=260ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

    Την κεντρική εικόνα του άρθρου φιλοτέχνησε ο εικαστικός Χρήστος Αλαβέρας από τη Θεσσαλονίκη.Ο Θεοφάνης Γραμμένος είναι Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών με γνωστικό αντικείμενο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά με έμφαση στις Διαφορικές Εξισώσεις και την Κλασική Θεωρία Πεδίου». Στα ερευνητικά ενδιαφέροντά του περιλαμβάνονται οι διαφορικές εξισώσεις, η τανυστική ανάλυση και η διαφορική γεωμετρία, η γενική θεωρία της σχετικότητας, η θεωρητική μηχανική, και η ιστορία και επικοινωνία των μαθηματικών επιστημών. Έχει δημοσιεύσει περισσότερα από 40 άρθρα σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά και πρακτικά συνεδρίων, έχει συγγράψει δύο επιστημονικά συγγράμματα με αντικείμενα τη Γραμμική Άλγεβρα (Εκδ. Τζιόλα) και τα Ασαφή Μαθηματικά (Wiley), αντίστοιχα, και έχει μεταφράσει περισσότερα από 15 επιστημονικά συγγράμματα Μαθηματικών.

  • ΤΟ ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΜΠΕΛ ΑΝΑΔΕΙΚΝΥΕΙ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

    ΤΟ ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΜΠΕΛ ΑΝΑΔΕΙΚΝΥΕΙ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

    Ο δρόμος προς τα σύγχρονα θαύματα της μηχανικής μάθησης στρώθηκε με ιδέες από τη στατιστική μηχανική και τα συλλογικά φαινόμενα.

    Johanna L. Miller


    Μετάφραση: Δημήτρης Κούλος

    Επιμέλεια μετάφρασης: Νικόλ Σαρλά, Βασίλης Λεμπέσης

    Επιστημονική επιμέλεια: Βασίλης Λεμπέσης«Ό,τι δίνεις παίρνεις».[1] Σύμφωνα με το παλιό ρητό της επιστήμης των υπολογιστών, αυτό που λαμβάνεις από έναν υπολογιστή δεν είναι καλύτερο από αυτό που του δίνεις. Και φαίνεται να υπονοεί ότι καθώς οι υπολογιστές δεν μπορούν να σκεφτούν μόνοι τους, δεν μπορούν ποτέ να κάνουν κάτι πιο εξεζητημένο από αυτό για το οποίο ρητώς τους έχει δοθεί εντολή.

    Όμως, το τελευταίο φαίνεται να μην είναι πλέον αληθές. Τα νευρωνικά δίκτυα –αρχιτεκτονικές των υπολογιστών εμπνευσμένες από τον ανθρώπινο εγκέφαλο, στις οποίες τα σήματα διέρχονται μέσα από κόμβους που ονομάζονται τεχνητοί νευρώνες– έχουν παράγει τα τελευταία χρόνια κύματα εκπληκτικών αποτελεσμάτων. (Βλ. για παράδειγμα σελ. 17 αυτού του τεύχους.) Οι μεμονωμένοι νευρώνες εκτελούν μονάχα τους πλέον στοιχειώδεις υπολογισμούς. Όμως, όταν συγκεντρώνονται σε αρκετά μεγάλους αριθμούς και όταν τροφοδοτούνται με αρκετά δεδομένα προς εκπαίδευση, αποκτούν δυνατότητες που, φαινομενικά από το πουθενά, θυμίζουν απροσδόκητα την ανθρώπινη νοημοσύνη.

    Οι φυσικοί δεν είναι ανοίκειοι με την ιδέα της ανάδυσης απροσδόκητων φαινομένων μέσα από απλούστερα δομικά στοιχεία. Μερικά στοιχειώδη σωματίδια και οι κανόνες των αλληλεπιδράσεών τους συνδυάζονται για να δώσουν σχεδόν το σύνολο του ορατού κόσμου: υπεραγωγοί, πλάσματα και όλα τα ενδιάμεσα. Γιατί κάποια προσέγγιση της φυσικής στην αναδυόμενη πολυπλοκότητα να μην εφαρμοστεί και στα νευρωνικά δίκτυα;

    Πράγματι εφαρμοζόταν –και συνεχίζει να εφαρμόζεται– όπως αποδεικνύεται από το φετινό (2024) βραβείο Νόμπελ Φυσικής, το οποίο απονέμεται στον John Hopfield του Πανεπιστημίου του Πρίνστον και στον Geoffrey Hinton του Πανεπιστημίου του Τορόντο. Ξεκινώντας στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Hopfield έθεσε τα εννοιολογικά θεμέλια για μια θεώρηση που να βασίζεται στη φυσική του ζητήματος της επεξεργασίας πληροφοριών η οποία εμπνέεται από την λειτουργία του εγκέφαλου· ο Hinton ήταν στην πρώτη γραμμή της προσπάθειας δεκαετιών για την αξιοποίηση αυτών των ιδεών για να αναπτύξει αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται σήμερα από τα μοντέλα νευρωνικών δικτύων.

    ΥΑΛΩΔΗΣ ΜΝΗΜΗ

    Στην αρχή δεν ήταν καθόλου προφανές ότι τα νευρωνικά δίκτυα θα γίνονταν τόσο ισχυρά. Μόλις το 2011, τα πιο εντυπωσιακά επιτεύγματα στην τεχνητή νοημοσύνη επιτυγχάνονταν από μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση. Ο υπολογιστής Watson της IBM, που νίκησε τον Ken Jennings και τον Brad Rutter στο Jeopardy!,[2] δεν ήταν ένα νευρωνικό δίκτυο καθώς είχε προγραμματιστεί ρητώς με κανόνες για την επεξεργασία της γλώσσας, την ανάκτηση πληροφοριών και τη λογική σκέψη. Και πολλοί ερευνητές πίστεψαν ότι αυτός ήταν ο δρόμος για να δημιουργήσουν χρήσιμες μηχανές τεχνητής νοημοσύνης.

    Αντίθετα, η πρώιμη εργασία για τα νευρωνικά δίκτυα ήταν μια έρευνα που καθοδηγούνταν από την περιέργεια, εμπνευσμένη περισσότερο από πραγματικούς εγκεφάλους παρά από τους υπολογιστές και τις εφαρμογές τους. Αλλά η φύση της διεπιστημονικής σύνδεσης ήταν δυσδιάκριτη. «Τα ερωτήματα που διατύπωσε ο Hopfield δεν είναι άσχετα με πράγματα που απασχολούσαν τους νευροεπιστήμονες», λέει ο William Bialek από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. «Όμως δεν πρόκειται για “εφαρμογή της φυσικής στο τάδε ζήτημα’’· μάλλον πρόκειται για την εισαγωγή μιας ολόκληρης θεώρησης που απλώς δεν υπήρχε προηγουμένως».

    Μέχρι τη δεκαετία του 1980, οι νευροεπιστήμονες γνώριζαν ότι ο εγκέφαλος αποτελείται από νευρώνες, οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους μέσω συνάψεων και εναλλάσσονται μεταξύ περιόδων υψηλής και χαμηλής ηλεκτρικής δραστηριότητας (στην καθομιλουμένη, “πυροδότηση” και “μη πυροδότηση”), και μελετούσαν συστήματα λίγων νευρώνων για να κατανοήσουν πώς η πυροδότηση ενός νευρώνα επηρέαζε εκείνους με τους οποίους συνδεόταν. «Κάποιοι αντιμετώπιζαν τους νευρώνες με όρους λογικών πυλών, όπως στην ηλεκτρονική», λέει ο Jay McClelland του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ.

    Σε μια εργασία-ορόσημο του 1982, ο Hopfield υιοθέτησε μια διαφορετική προσέγγιση.[3] Στη φυσική, υποστήριξε, πολλές σημαντικές ιδιότητες συστημάτων μεγάλης κλίμακας είναι ανεξάρτητες από τις λεπτομέρειες μικρής κλίμακας. Σε όλα τα υλικά μπορούν να διαδοθούν ηχητικά κύματα, για παράδειγμα, ανεξάρτητα από το πώς ακριβώς αλληλεπιδρούν τα άτομα ή τα μόριά τους. Οι μικροσκοπικές δυνάμεις μπορεί να επηρεάζουν την ταχύτητα του ήχου ή άλλες ακουστικές ιδιότητες, αλλά η μελέτη των δυνάμεων μεταξύ τριών ή τεσσάρων ατόμων αποκαλύπτει ελάχιστα για το πώς αναδύεται η έννοια των ηχητικών κυμάτων.

    Με αυτόν τον τρόπο, δημιούργησε ένα μοντέλο ενός δικτύου νευρώνων, με γνώμονα περισσότερο την υπολογιστική και μαθηματική απλότητα παρά τον νευροβιολογικό ρεαλισμό. Το μοντέλο, γνωστό σήμερα ως δίκτυο Hopfield, αναπαρίσταται στο Εικ. 1. (Το σχήμα δείχνει ένα δίκτυο πέντε νευρώνων για την ευκολία της απεικόνισης· ο Hopfield προσομοίωνε δίκτυα 30 έως 100 νευρώνων). Κάθε νευρώνας μπορεί να βρίσκεται στην κατάσταση 1 ( πυροδότηση), ή στην κατάσταση 0 (μη πυροδότηση).

    Η σύνδεση κάθε νευρώνα με όλους τους άλλους προσομοιωνόταν μέσω σταθερών σύζευξης που θα μπορούσαν να έχουν οποιαδήποτε θετική ή αρνητική τιμή, ανάλογα με το αν κάθε σύναψη ευνοεί ή όχι τους νευρώνες να πυροδοτούν ταυτόχρονα.

    Αυτή είναι ακριβώς η ίδια μορφή με εκείνη ενός υαλώδους σπιν (spin glass), ένα γνωστό <<ακανθώδες>> σύστημα από τη φυσική συμπυκνωμένης ύλης. (Βλέπε Physics Today, Δεκέμβριος 2021, σ. 17.) Σε αντίθεση με ένα σιδηρομαγνήτη, στον οποίο οι σταθερές σύζευξης είναι όλες θετικές και το σύστημα έχει μια σαφή θεμελιώδη κατάσταση με όλα του τα σπιν ευθυγραμμισμένα, ένα υαλώδες σπιν δεν έχει σχεδόν ποτέ μια κατάσταση που να ικανοποιεί όλες τις ενεργειακές προτιμήσεις των σπιν του ταυτόχρονα. Το ενεργειακό του τοπίο είναι πολύπλοκο, με πολλά τοπικά ενεργειακά ελάχιστα.Εικ. 1. Ένα δίκτυο Hopfield, τυπικά ισοδύναμο με ένα υαλώδες σπιν, λειτουργεί ως συνειρμική μνήμη: Όταν παρουσιάζεται μια κατάσταση που ανακαλείται μερικώς, χρησιμοποιεί έναν αλγόριθμο μείωσης της ενέργειας για να συμπληρώσει τα κενά. Οι αναμνήσεις αποθηκεύονται στην ισχύ των συζεύξεων μεταξύ των κόμβων. Όταν ο John Hopfield έδειξε ότι με τον κατάλληλο στατιστικό συνδυασμό στην ισχύ συζεύξεων το δίκτυο μπορούσε να αποθηκεύσει πολλές αναμνήσεις ταυτόχρονα, έθεσε τις βάσεις για τη σκέψη των νευρωνικών δικτύων με βάση τη φυσική. (Σχήμα από τον Freddie Pagani· φωτογραφία λαγού από τον JM Ligero Loarte/Wikimedia Commons/CC BY 3.0.)Ο Hopfield υποστήριξε ότι το τοπίο θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως μνήμη, με κάθε μια από τις διατάξεις που ελαχιστοποιούν την ενέργεια να χρησιμεύει ως μια κατάσταση που πρέπει να κρατηθεί στη μνήμη. Και παρουσίασε έναν κομψό τρόπο ρύθμισης των τιμών των σταθερών σύζευξης –εμπνευσμένο από αυτό που συμβαίνει στις πραγματικές συνάψεις– έτσι ώστε η μνήμη να αποθηκεύει οποιαδήποτε επιθυμητή συλλογή καταστάσεων.

    Αλλά το δίκτυο Hopfield είναι θεμελιωδώς διαφορετικό από μια συνηθισμένη μνήμη υπολογιστή. Σε έναν υπολογιστή, κάθε στοιχείο των δεδομένων που πρόκειται να αποθηκευτεί κωδικοποιείται ως συμβολοσειρά από άσους και μηδενικά σε ένα συγκεκριμένο σημείο και ανακαλείται πηγαίνοντας πίσω σε αυτό το σημείο και διαβάζοντας τη συμβολοσειρά. Σε ένα δίκτυο Hopfield, όλα τα στοιχεία αποθηκεύονται ταυτόχρονα στις τιμές των σταθερών της σύζευξης ολόκληρου του δικτύου. Και μπορούν να ανακληθούν συνειρμικά, δίνοντας στο δίκτυο ένα σημείο εκκίνησης που μοιράζεται μόνο μερικά χαρακτηριστικά με μία από τις καταστάσεις που θυμάται και επιτρέποντάς του να «ηρεμήσει» στο πλησιέστερο ενεργειακό ελάχιστο. Τις περισσότερες φορές, θα ανακαλέσει την επιθυμητή μνήμη. (Βλέπε επίσης τα άρθρα του Haim Sompolinsky, Physics Today, Δεκέμβριος 1988, σ. 70, και του John Hopfield, PHYSICS Today, Φεβρουάριος 1994, σ. 40).

    Και τα δύο αυτά είναι γεγονότα που συμβαίνουν στους πραγματικούς εγκεφάλους. « Ήταν πειραματικά γνωστό ότι σε ανώτερα ζώα η εγκεφαλική δραστηριότητα ήταν καλά διασκορπισμένη και ενέπλεκε πολλούς νευρώνες», λέει ο Hopfield. Και η συνειρμική μνήμη είναι κάτι που έχετε βιώσει άμεσα, αν έχετε θυμηθεί ποτέ ένα τραγούδι που έχετε ξανακούσει, αφού ακούσατε ένα τυχαίο απόσπασμά του.

    Το μοντέλο του Hopfield ήταν μια τεράστια απλοποίηση ενός πραγματικού εγκεφάλου. Οι πραγματικοί νευρώνες είναι ουσιαστικά δυναμικοί, δεν χαρακτηρίζονται από στατικές καταστάσεις και οι πραγματικές συζεύξεις των νευρώνων δεν είναι συμμετρικές. Αλλά, κατά κάποιον τρόπο, αυτές οι διαφορές ήταν χαρακτηριστικά, όχι σφάλματα: έδειξαν ότι η συλλογική, συνειρμική μνήμη ήταν ένα αναδυόμενο φαινόμενο μεγάλης κλίμακας, ανθεκτικό σε λεπτομέρειες μικρής κλίμακας.

    ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΠΩΣ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΕΙΣ

    «Όχι μόνο ο Hopfield είναι ένας πολύ καλός φυσικός, αλλά και το μοντέλο Hopfield είναι από μόνο του εξαιρετική φυσική”, λέει ο Leo van Hemmen, από το Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Μονάχου. Παρ΄όλα αυτά, η διατύπωσή του το 1982 άφησε πολλά ενδιαφέροντα ανοιχτά ερωτήματα. Ο Hopfield είχε επικεντρωθεί σε προσομοιώσεις για να δείξει πώς το σύστημα «ηρεμεί» σε ένα ενεργειακό ελάχιστο· θα μπορούσε το μοντέλο να δεχθεί μια πιο στιβαρή αναλυτική αντιμετώπιση; Πόσες καταστάσεις θα μπορούσε να θυμάται το μοντέλο και τι θα συνέβαινε αν υπερφορτωνόταν; Υπήρχαν καλύτεροι τρόποι καθορισμού του μεγέθους των σταθερών σύζευξης από αυτόν που πρότεινε ο Hopfield;

    Αυτές τις ερωτήσεις, και άλλες, ανέλαβε μια πληθώρα ερευνητών με σπουδές στη φυσική, οι οποίοι εμπνεύστηκαν από το έργο του Hopfield και εισήλθαν στον τομέα των νευρωνικών δικτύων κατά τη δεκαετία του 1980. «Οι φυσικοί είναι ευπροσάρμοστοι, περίεργοι και αλαζόνες –με θετικό τρόπο», λέει ο Eytan Domany, του Ινστιτούτου Επιστημών Weizmann στο Ισραήλ. «Είναι πρόθυμοι να μελετήσουν διεξοδικά και στη συνέχεια να καταπιαστούν με ένα πρόβλημα που δεν έχουν ξαναδεί, αν είναι ενδιαφέρον. Και όλοι είναι ενθουσιασμένοι με την κατανόηση του εγκεφάλου».

    Ένα άλλο μέρος της γοητείας ήταν ο τρόπος με τον οποίο ο Hopfield είχε πάρει ένα παραδοσιακό πρόβλημα φυσικής και το είχε αντιστρέψει. «Στα περισσότερα προβλήματα ενεργειακού τοπίου, σας δίνονται οι μικροσκοπικές αλληλεπιδράσεις και ρωτάτε: Ποια είναι η βασική κατάσταση; Ποια είναι τα τοπικά ελάχιστα; Ποιο είναι ολόκληρο το τοπίο;», λέει ο Haim Sompolinsky, του Εβραϊκού Πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ. «Η εργασία του 1982 έκανε το αντίθετο. Ξεκινάμε με τις βασικές καταστάσεις που θέλουμε: τις αναμνήσεις. Και ρωτάμε: Ποιες είναι οι μικροσκοπικές αλληλεπιδράσεις που θα τις υποστηρίξουν ως βασικές καταστάσεις;»

    Από εκεί και πέρα, ήταν ένα μικρό εννοιολογικό άλμα το να ρωτήσουμε: τι γίνεται αν οι ίδιες οι τιμές των σταθερών σύζευξης μπορούν να εξελιχθούν στο δικό τους ενεργειακό τοπίο; Δηλαδή, αντί το σύστημα να είναι προγραμματισμένο εκ των προτέρων με παραμέτρους για την κωδικοποίηση συγκεκριμένων μνημών, να μπορεί να αυτοβελτιώνεται με τη μάθηση;

    Η μηχανική μάθηση σε νευρωνικά δίκτυα είχε δοκιμαστεί και στο παρελθόν. Το perceptron –μια συσκευή που μοιάζει με νευρωνικό δίκτυο και ταξινομεί εικόνες σε απλές κατηγορίες, όπως κύκλους και τετράγωνα– χρονολογείται από τη δεκαετία του 1950. Όταν του δόθηκε μια σειρά από εικόνες για εκπαίδευση και ένας απλός αλγόριθμος για την επικαιροποίηση των συνδέσεων μεταξύ των νευρώνων του, μπορούσε τελικά να μάθει να ταξινομεί σωστά ακόμη και εικόνες που δεν είχε ξαναδεί.

    Αλλά το perceptron δεν λειτουργούσε πάντα καθώς με τον τρόπο που ήταν δομημένο το δίκτυο, μερικές φορές δεν υπήρχε κανένας τρόπος να ρυθμιστούν οι τιμές των σταθερών σύζευξης για να εκτελέσει την επιθυμητή ταξινόμηση. «Όταν συνέβαινε αυτό, θα μπορούσατε να επαναλαμβάνετε (την λειτουργία) για πάντα και ο αλγόριθμος δεν θα συνέκλινε ποτέ», λέει ο van Hemmen. «Αυτό ήταν ένα μεγάλο σοκ». Χωρίς μια κατευθυντήρια αρχή για την χάραξη μιας πορείας προς τα εμπρός, το πεδίο είχε βαλτώσει.

    ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΣ ΚΟΙΝΟ ΤΟΠΟ  

    Ο Hinton δεν ήρθε στα νευρωνικά δίκτυα έχοντας υπόβαθρο στη φυσική. Αλλά ο συνεργάτης του, Terrence Sejnowski –ο οποίος είχε πάρει το διδακτορικό του από τον Hopfield το 1978– είχε τέτοιο υπόβαθρο. Μαζί, επέκτειναν το δίκτυο Hopfield σε κάτι που ονόμασαν μηχανή Boltzmann, η οποία επέκτεινε σημαντικά τις δυνατότητες του μοντέλου χρησιμοποιώντας ξεκάθαρα έννοιες της στατικής φυσικής.[4]

    Στις προσομοιώσεις του ο Hopfield το 1982, είχε ουσιαστικά διερευνήσει το καθαρό έργο του υαλώδους σπιν σε μηδενική θερμοκρασία επιτρέποντας στο σύστημα να εξελίξει την κατάστασή του μόνο με τρόπους που θα μείωναν τη συνολική του ενέργεια. Με αυτόν τον τρόπο, όποια κι αν ήταν η αρχική κατάσταση, κατέληγε σε ένα κοντινό τοπικό ενεργειακό ελάχιστο και παρέμενε εκεί.

    «Ο Τέρι και εγώ αρχίσαμε αμέσως να σκεφτόμαστε τη στοχαστική εκδοχή, με μη μηδενική θερμοκρασία», λέει ο Hinton. Αντί για έναν ντετερμινιστικό κανόνα μείωσης της ενέργειας, χρησιμοποίησαν έναν αλγόριθμο Monte Carlo που επέτρεπε στο σύστημα να μεταπηδά περιστασιακά σε μια κατάσταση υψηλότερης ενέργειας. Δοθέντος αρκετού χρόνου, μια στοχαστική προσομοίωση του δικτύου θα εξερευνούσε ολόκληρο το ενεργειακό τοπίο και θα κατέληγε σε μια κατανομή πιθανοτήτων Boltzmann, με όλες τις καταστάσεις χαμηλής ενέργειας –ανεξάρτητα από το αν είναι τοπικά ενεργειακά ελάχιστα– να αντιπροσωπεύονται με υψηλή πιθανότητα.

    «Και το 1983, ανακαλύψαμε έναν πολύ όμορφο τρόπο για τη μάθηση», λέει ο Hinton. Όταν το δίκτυο τροφοδοτούνταν με δεδομένα για εκπαίδευση αυτά αναβάθμιζαν επαναληπτικά την τιμή των σταθερών σύζευξης, έτσι ώστε οι καταστάσεις των δεδομένων να έχουν υψηλή πιθανότητα στην κατανομή Boltzmann.[5] Επιπλέον, όταν τα εισερχόμενα δεδομένα είχαν κάτι κοινό –όπως οι εικόνες με τον αριθμόν 3 στην Εικ. 2– τότε άλλες καταστάσεις υψηλής πιθανότητας θα μοιράζονταν τα ίδια κοινά χαρακτηριστικά.Εικόνα 2. Η ΜΗΧΑΝΗ BOLTZMANN επεκτείνει το δίκτυο Hopfield με δύο τρόπους: Επαυξάνει το δίκτυο για να συμπεριλάβει και κρυμμένους κόμβους (φαίνονται στο κέντρο του δικτύου με γκρι χρώμα) που δεν εμπλέκονται στην κωδικοποίηση δεδομένων και λειτουργεί σε μη μηδενική πραγματική θερμοκρασία, έτσι ώστε ολόκληρος ο χώρος των διατάξεων να μπορεί να χαρακτηριστεί από μια κατανομή πιθανοτήτων Boltzmann. Ο Geoffrey Hinton και οι συνεργάτες του ανέπτυξαν έναν τρόπο εκπαίδευσης της μηχανής Boltzmann ως γενετικού μοντέλου: Όταν της παρουσιάζονταν ως εισροές διάφορα στοιχεία που είχαν όλα ένα κοινό χαρακτηριστικό, παρήγαγε περισσότερα στοιχεία του ίδιου τύπου. (Σχήμα από τον Freddie Pagani.)Το βασικό συστατικό για την εύρεση αυτού του είδους κοινών στοιχείων ήταν η επαύξηση του δικτύου, ώστε να περιλαμβάνει περισσότερους κόμβους από αυτούς που κωδικοποιούν τα δεδομένα. Αυτοί οι κρυφοί κόμβοι, που απεικονίζονται με γκρι χρώμα στην Εικ.2, επιτρέπουν στο σύστημα να καταγράφει συσχετίσεις υψηλότερου επιπέδου μεταξύ των δεδομένων.

    Κατ’ αρχήν, η μηχανή Boltzmann θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη μηχανική αναγνώριση ενός χειρόγραφου ή για τη διάκριση μεταξύ κανονικών και έκτακτων συνθηκών σε μια εγκατάσταση όπως ένας σταθμός παραγωγής ενέργειας. Δυστυχώς, ο αλγόριθμος μάθησης της μηχανής Boltzmann είναι απαγορευτικά αργός για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές. Παρέμεινε θέμα ακαδημαϊκής έρευνας, αλλά δεν βρήκε μεγάλη χρήση στον πραγματικό κόσμο –μέχρι που έκανε μια εκπληκτική επανεμφάνιση αρκετά χρόνια αργότερα.

    ΠΩΣ ΔΟΥΛΕΥΟΥΝ ΤΑ ΔΙΚΤΥΑ

    Περίπου την ίδια εποχή, ο Hinton εργαζόταν με τον γνωστικό επιστήμονα David Rumelhart πάνω σε έναν άλλο αλγόριθμο μάθησης, ο οποίος θα γινόταν το μυστικό της επιτυχίας σχεδόν όλων των σημερινών νευρωνικών δικτύων: οπισθοδιάδοση (backpropagation).[6] Ο αλγόριθμος αναπτύχθηκε για ένα διαφορετικό είδος αρχιτεκτονικής δικτύου, που ονομάζεται δίκτυο πρόσθιας τροφοδότησης (feedforward network), όπως φαίνεται στην Εικ.3. Σε αντίθεση με το δίκτυο Hopfield και τη μηχανή Boltzmann, με τις αμφίδρομες συνδέσεις μεταξύ των κόμβων, τα σήματα σε ένα δίκτυο πρόσθιας τροφοδότησης ρέουν προς μία μόνο κατεύθυνση: από ένα επίπεδο νευρώνων εισόδου, μέσω κάποιου αριθμού κρυφών επιπέδων, στην έξοδο. Μια παρόμοια αρχιτεκτονική είχε χρησιμοποιηθεί στο πολυεπίπεδο perceptron.

    Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εκπαιδεύσετε ένα δίκτυο πρόσθιας τροφοδότησης για την ταξινόμηση εικόνων. Του δίνετε μια εικόνα ενός κουνελιού και θέλετε να παράγει το μήνυμα εξόδου «Αυτό είναι ένα κουνέλι». Αλλά κάτι δεν πάει καλά και αντ’ αυτού λαμβάνετε το μήνυμα εξόδου «Αυτό είναι χελώνα». Πώς μπορείτε να επαναφέρετε τα πράγματα στη σωστή πορεία; Το δίκτυο μπορεί να έχει δεκάδες ή εκατοντάδες –ή σήμερα, τρισεκατομμύρια– συνδέσεις μεταξύ κόμβων που συμβάλλουν στην έξοδο, η καθεμία με το δικό της αριθμητικό βάρος. Συνεπώς ο αριθμός των τρόπων που υπάρχουν για να τους ρυθμίσετε όλους, ώστε να προσπαθήσετε να πάρετε την έξοδο που θέλετε, είναι ασύλληπτος.

    Η οπισθοδιάδοση λύνει αυτό το πρόβλημα μέσω του αλγόριθμου καθοδικής πορείας κατά μήκος της κλίσης (gradient descent): Πρώτα, ορίζετε μια συνάρτηση σφάλματος που προσδιορίζει πόσο απέχει η έξοδος που πήρατε από την έξοδο που θέλετε. Στη συνέχεια, υπολογίζετε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης σφάλματος με κριτήριο κάθε ένα από τα ενδοκομβικά βάρη –ένα απλό θέμα επανειλημμένης εφαρμογής του αλυσιδωτού κανόνα του λογισμού. Τέλος, χρησιμοποιείτε αυτές τις παραγώγους για να προσαρμόσετε τα βάρη με τρόπο που να μειώνει το σφάλμα.Εικ. 3. Ένα δίκτυο πρόσθιας τροφοδότησης, εκπαιδευμένο με οπισθοδιάδοση, είναι η βασική δομή των νευρωνικών δικτύων που χρησιμοποιούνται σήμερα. Περνώντας αριθμητικά σήματα από ένα επίπεδο εισόδου μέσω κρυφών επιπέδων σε ένα επίπεδο εξόδου, τα δίκτυα πρόσθιας τροφοδότησης εκτελούν λειτουργίες που περιλαμβάνουν την ταξινόμηση εικόνων και την παραγωγή κειμένου. (Εικόνα από τον Freddie Pagani· φωτογραφία κουνελιού από τον JM Ligero Loarte/Wikimedia Commons/CC BY 3.0· χαϊκού που δημιουργήθηκε από τον GPT-4, OpenAI, 22 Οκτωβρίου 2024).Μπορεί να χρειαστούν πολλές επαναλήψεις για να περιοριστεί το σφάλμα αρκετά κοντά στο μηδέν –και θα θέλετε να βεβαιωθείτε ότι το δίκτυο δίνει το σωστό αποτέλεσμα για πολλά εισερχόμενα δεδομένα, όχι μόνο για ένα. Αλλά αυτά τα βασικά βήματα χρησιμοποιούνται για την εκπαίδευση όλων των ειδών των δικτύων, συμπεριλαμβανομένων των ταξινομητών εικόνων βάσει επαλήθευσης-της-γενικής-ιδέας και των μεγάλων γλωσσικών μοντέλων, όπως το ChatGPT.

    Η μέθοδος του αλγόριθμου καθοδικής πορείας κατά μήκος της κλίσης είναι διαισθητικά κομψή και δεν ήταν καινούρια εννοιολογικά. «Αλλά έπρεπε να συγκεντρωθούν πολλά στοιχεία για να λειτουργήσει η ιδέα της οπισθοδιάδοσης», λέει ο McClelland. «Δεν μπορείτε να πάρετε την παράγωγο κάποιου πράγματος αν αυτό δεν είναι παραγωγίσιμο». Οι πραγματικοί νευρώνες λειτουργούν λίγο-πολύ σε διακριτές καταστάσεις ενεργοποίησης και απενεργοποίησης, και το αρχικό δίκτυο Hopfield, η μηχανή Boltzmann και το perceptron ήταν όλα διακριτά μοντέλα. Για να λειτουργήσει η οπισθοδιάδοση, ήταν απαραίτητο να μεταβούμε σε ένα μοντέλο στο οποίο οι καταστάσεις των κόμβων μπορούν να πάρουν ένα συνεχές φάσμα τιμών. Αλλά αυτά τα δίκτυα συνεχών τιμών είχαν ήδη εισαχθεί, μεταξύ άλλων σε μια εργασία του Hopfield το 1984.[7]

    Μια δεύτερη καινοτομία έπρεπε να περιμένει για καιρό. Η οπισθοδιάδοση λειτούργησε καλά για δίκτυα με μερικά μόνο επίπεδα. Αλλά όταν ο αριθμός των επιπέδων πλησίαζε τα πέντε ή και περισσότερα –ένας ασήμαντος αριθμός για τα δεδομένα της εποχής– ορισμένες από τις επιμέρους παραγώγους ήταν τόσο μικρές που η εκπαίδευση διαρκούσε πολύ ώστε πρακτικά να ήταν ανέφικτη.

    Στις αρχές της δεκαετίας του 2000, ο Hinton βρήκε μια λύση, η οποία περιλάμβανε την παλιά του μηχανή Boltzmann –ή μάλλον μια λεγόμενη περιορισμένη εκδοχή της, στην οποία οι μόνες συνδέσεις είναι αυτές μεταξύ ενός κρυμμένου νευρώνα και ενός ορατού (μη κρυμμένου) νευρώνα.[8] Οι περιορισμένες μηχανές Boltzmann (Restricted Boltzmann Machines, RBM) είναι εύκολο να μοντελοποιηθούν υπολογιστικά, επειδή κάθε ομάδα νευρώνων –ορατών και κρυφών– θα μπορούσε να επικαιροποιηθεί ταυτόχρονα και τα αριθμητικά βάρη σύνδεσης θα μπορούσαν να ρυθμιστούν όλα μαζί σε ένα μόνο βήμα. Η ιδέα του Hinton ήταν να απομονώσει ζεύγη διαδοχικών επιπέδων σε ένα δίκτυο πρόσθιας τροφοδότησης, να τα εκπαιδεύσει σαν να επρόκειτο για RBM για να προσεγγίσει τα αριθμητικά βάρη και, στη συνέχεια, να συντονίσει το σύνολο του δικτύου χρησιμοποιώντας οπισθοδιάδοση.

    «Ήταν κάπως άκομψο, αλλά δούλεψε και ο κόσμος ενθουσιάστηκε», λέει ο Graham Taylor, του Πανεπιστημίου του Guelph στον Καναδά, ο οποίος πήρε το διδακτορικό του υπό την επίβλεψη του Hinton το 2009. «Ήταν πλέον δυνατό να εκπαιδεύσουμε δίκτυα με πέντε, έξι, επτά επίπεδα. Οι άνθρωποι τα αποκαλούσαν «βαθιά» δίκτυα και άρχισαν να χρησιμοποιούν τον όρο βαθεία μάθηση (deep learning).

    Το τέχνασμα με τις RBM δεν χρησιμοποιήθηκε για πολύ. Η υπολογιστική ισχύς εξελισσόταν τόσο γρήγορα –ιδιαίτερα με τη συνειδητοποίηση ότι οι μονάδες επεξεργασίας γραφικών (GPU) ήταν ιδανικά κατάλληλες για τους υπολογισμούς που απαιτούνταν για τα νευρωνικά δίκτυα– ώστε μέσα σε λίγα χρόνια, ήταν δυνατό να επιτευχθεί οπισθοδιάδοση σε ακόμη μεγαλύτερα δίκτυα από την αρχή, χωρίς να απαιτούνται RBM.

    «Αν η μάθηση μέσω RBM δεν είχε συμβεί, θα είχαν εμφανιστεί οι GPU ούτως ή άλλως;» αναρωτιέται ο Taylor. «Αυτό είναι συζητήσιμο. Αλλά ο ενθουσιασμός γύρω από τις RBM άλλαξε το τοπίο: οδήγησε στην επιστράτευση και εκπαίδευση νέων φοιτητών και σε νέους τρόπους σκέψης. Νομίζω πως, τουλάχιστον, δεν θα είχε συμβεί με τον ίδιο τρόπο».

    O, ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙΝΟΥΡΙΟ ΕΙΝΑΙ ΠΑΛΙΟ

    Τα σημερινά δίκτυα χρησιμοποιούν εκατοντάδες ή χιλιάδες επίπεδα, αλλά η μορφή τους είναι ελάχιστα διαφορετική από εκείνη που περιέγραψε ο Hinton. «Έμαθα για τα νευρωνικά δίκτυα από βιβλία της δεκαετίας του 1980», λέει ο Bernhard Mehlig, του Πανεπιστημίου του Γκέτεμποργκ στη Σουηδία. «Όταν άρχισα να τα διδάσκω, συνειδητοποίησα ότι τα περισσότερα δεν είναι καινούργια. Είναι, επί της ουσίας, παλιά πράγματα». Ο Mehlig σημειώνει ότι σε ένα εγχειρίδιο που έγραψε, το οποίο εκδόθηκε το 2021, το πρώτο από τα τρία μέρη αφορά στον Hopfield και το δεύτερο στον Hinton.

    Τα νευρωνικά δίκτυα επηρεάζουν πλέον έναν τεράστιο αριθμό ανθρώπινων προσπαθειών, εμπλέκονται στην ανάλυση δεδομένων, στις αναζητήσεις στο διαδίκτυο και στη δημιουργία γραφικών. Είναι ευφυή; Είναι εύκολο να απορρίψει κανείς το ερώτημα αυτό χωρίς πολύ σκέψη. «Πάντα υπήρχαν πολλά πράγματα που οι μηχανές μπορούσαν να κάνουν καλύτερα από τους ανθρώπους», λέει ο Sankar Das Sarma του Πανεπιστημίου του Μέριλαντ. «Αυτό δεν έχει καμία σχέση με το να γίνουνε άνθρωποι. Το ChatGPT είναι εντυπωσιακά καλό σε ορισμένα πράγματα, αλλά σε πολλά άλλα δεν πλησιάζει καν ένα μωρό δύο ετών».

    Μια ενδεικτική σύγκριση είναι το τεράστιο χάσμα δεδομένων μεταξύ των σημερινών νευρωνικών δικτύων και των ανθρώπων.[9] Ένας εγγράμματος 20 ετών μπορεί να έχει διαβάσει και ακούσει μερικές εκατοντάδες εκατομμύρια λέξεις στη ζωή του μέχρι τώρα. Αντίθετα, τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα εκπαιδεύονται σε εκατοντάδες δισεκατομμύρια λέξεις, αριθμός που αυξάνεται με κάθε νέα έκδοση. Όταν συνυπολογίσετε το γεγονός ότι το ChatGPT έχει το πλεονέκτημα μιας εμπειρίας ζωής χίλιες φορές μεγαλύτερης από εσάς, οι ικανότητές του μπορεί να φαίνονται λιγότερο σαν νοημοσύνη. Ίσως όμως να μην έχει σημασία αν η τεχνητή νοημοσύνη αποτυγχάνει σε κάποιες εργασίες, αν είναι καλή στον σωστό συνδυασμό άλλων.

    Οι Hinton και Hopfield έχουν και οι δύο αναφερθεί στους κινδύνους της ανεξέλεγκτης τεχνητής νοημοσύνης. Ανάμεσα στα επιχειρήματά τους είναι η ιδέα ότι μόλις οι μηχανές γίνουν ικανές να αναλύουν τους στόχους σε επιμέρους στόχους, θα συμπεράνουν γρήγορα ότι μπορούν να κάνουν σχεδόν κάθε εργασία ευκολότερη για τον εαυτό τους, εδραιώνοντας τη δική τους δύναμη. Και επειδή τα νευρωνικά δίκτυα είναι συχνά επιφορτισμένα με τη συγγραφή κώδικα για άλλους υπολογιστές, το να σταματήσει η ζημιά δεν είναι τόσο απλό όσο το να τραβήξει κανείς την πρίζα από μια μεμονωμένη μηχανή.

    «Υπάρχουν επίσης άμεσοι κίνδυνοι που αντιμετωπίζουμε αυτή τη στιγμή», λέει ο Mehlig. «Υπάρχουν κείμενα γραμμένα από υπολογιστή και ψεύτικες εικόνες που χρησιμοποιούνται για να ξεγελάσουν τους ανθρώπους και να επηρεάσουν τις εκλογές. Νομίζω ότι μιλώντας για την κατάκτηση του κόσμου από τους υπολογιστές, οι άνθρωποι παίρνουν λιγότερο σοβαρά τους άμεσους κινδύνους».

    ΤΙ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΚΑΝΟΥΝ ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ;

    Μεγάλο μέρος της ανησυχίας προέρχεται από το γεγονός ότι είναι πολύ λίγα γνωστά για το τι πραγματικά κάνουν τα νευρωνικά δίκτυα: Πώς μέσα από δισεκατομμύρια πολλαπλασιασμούς πινάκων καταλήγουμε να είμαστε σε θέση να βρίσκουμε πρωτεϊνικές δομές ή να γράφουμε ποίηση; «Οι άνθρωποι στις μεγάλες εταιρείες ενδιαφέρονται περισσότερο για την παραγωγή εσόδων, παρά για την κατανόηση», λέει ο Das Sarma. «Η κατανόηση απαιτεί περισσότερο χρόνο. Η δουλειά των θεωρητικών είναι να κατανοούν τα φαινόμενα, και αυτό είναι ένα τεράστιο φυσικό φαινόμενο που εκκρεμεί να κατανοηθεί από εμάς. Οι φυσικοί πρέπει να ενδιαφέρονται γι’ αυτό».

    «Είναι δύσκολο να μην είσαι ενθουσιασμένος με αυτό που συμβαίνει και είναι δύσκολο να μην

    παρατηρήσουμε πως δεν καταλαβαίνουμε», λέει ο Bialek. «Αν θέλετε να πείτε ότι τα πράγματα είναι αναδυόμενα, ποια είναι η παράμετρος τάξης και τι είναι αυτό που έχει αναδυθεί; Η φυσική έχει έναν τρόπο να κάνει αυτό το ερώτημα πιο συγκεκριμένο. Θα αποφέρει αυτή η προσέγγιση γνώση; Θα το δούμε».

    Προς το παρόν, τα μεγαλύτερα ερωτήματα εξακολουθούν να είναι κατακλυσμιαία. «Αν υπήρχε κάτι προφανές που θα ερχόταν στο μυαλό μας, θα υπήρχε μια ορδή ανθρώπων που θα προσπαθούσαν να το λύσουν», λέει ο Hopfield. «Αλλά κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει επειδή κανείς δεν ξέρει από πού να ξεκινήσει».

    Ωστόσο, μερικά ερωτήματα μικρότερης κλίμακας είναι πιο εύκολα αντιμετωπίσιμα. Για παράδειγμα, γιατί η οπισθοδιάδοση μειώνει το σφάλμα του δικτύου κοντά στο μηδέν με τέτοια αξιοπιστία, αντί να «κολλάει» σε υψηλά τοπικά ελάχιστα, όπως κάνει το δίκτυο Hopefield; «Υπήρξε μια πολύ καλή εργασία πάνω σε αυτό πριν από μερικά χρόνια από τον Surya Ganguli στο Στάνφορντ», λέει η Sara Solla του Πανεπιστημίου Nortwestern. «Διαπίστωσε ότι τα περισσότερα υψηλά ελάχιστα είναι στην πραγματικότητα σαγματικά σημεία[10]: Είναι ένα ελάχιστο σε πολλές διαστάσεις, αλλά υπάρχει πάντα μία στην οποία δεν είναι. Έτσι, αν συνεχίσετε να προσπαθείτε, τελικά θα βρείτε τη διέξοδο».

    Όταν οι ερευνητές με εκπαίδευση φυσικού εργάζονται σε τέτοια προβλήματα, εξακολουθούν να ασχολούνται με τη φυσική; Ή έχουν αφήσει τη φυσική πίσω τους για κάτι άλλο; Αν η «φυσική» ορίζεται ως η μελέτη του φυσικού, υλικού κόσμου, αυτό αναμφισβήτητα θα απέκλειε τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα, τα οποία μέχρι τώρα είναι εξ ολοκλήρου αφηρημένες, ανθρώπινες κατασκευές με ελάχιστη ομοιότητα με τους βιολογικούς νευρώνες. «Δεν φτιάχνουμε αεροπλάνα που κουνάνε τα φτερά τους», λέει η Solla. «Και η οπισθοδιάδοση είναι ένας εντελώς μη ρεαλιστικός μηχανισμός σε έναν πραγματικό εγκέφαλο. Ο κατασκευαστικός στόχος είναι να φτιάξουμε μια μηχανή που να λειτουργεί. Η φύση μας δίνει κάποια εικόνα, αλλά η καλύτερη λύση δεν είναι απαραίτητα να την αντιγράψουμε».

    Πρέπει, όμως, η φυσική να ορίζεται αποκλειστικά από το αντικείμενό της; «Στα διεπιστημονικά πεδία, αυτό που κάνει τη διαφορά μεταξύ των επιστημονικών κλάδων –μαθηματικών, πληροφορικής και φυσικής– είναι οι μέθοδοι και οι νοοτροπίες τους», λέει η Francesca Mignacco από το Πρίνστον. «Είναι συμπληρωματικές, αλλά διαφορετικές. Τα μοντέλα των νευρωνικών δικτύων είναι τόσο πολύπλοκα που είναι δύσκολο να επιτευχθούν αυστηρές μαθηματικές περιγραφές. Αλλά η στατιστική φυσική διαθέτει ακριβώς τα εργαλεία για να αντιμετωπίσει την πολυπλοκότητα των συστημάτων υψηλής διάστασης. Προσωπικά, ποτέ δεν σταμάτησα να θέτω ερωτήματα μόνο και μόνο επειδή μπορεί να είναι ή να μην είναι φυσική».

    «Η φυσική περιορίζεται μόνο από την επινοητικότητα των ανθρώπων που εφαρμόζουν μεθόδους της φυσικής σε συστήματα στον πραγματικό κόσμο», λέει ο Hopfield. «Μπορείτε να είστε προκατειλημμένοι με αυτό ή μπορείτε να υποδεχθείτε την εφαρμοσμένη φυσική. Εγώ είμαι ένας από τους φιλόξενους».

    ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

    Reproduced from Nobel Prize highlights neural networks’ physics roots. The road to the modern machine-learning marvels was paved with ideas from statistical mechanics and collective phenomena. Physics Today 77 (12), 12–16 (2024); (https://doi.org/10.1063/pt.qjmx.snxw) with the permission of the American Institute of Physics.ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

    [1] Μετάφραση του ρητού στην αγγλική «Garbage in, garbage out» [ΣτΕ].

    [2] Τηλεπαιχνίδι γνώσεων [ΣτΜ].

    [3] Hopfield, J., J., 1982. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 79, 2554, 1982. https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.79.8.2554

    [4] Fahlman, S., Ε., Hinton, G., E., and Sejnowski, T. J., 1983. Massively Parallel Architectures for Al: NETL, Thistle, and Boltzmann Machines, in Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence, 3, Association for the Advancement of Artificial Intelligence, 1983, p. 109. https://aaai.org/papers/00109-aaai83-087-massively-parallel-architectures-for-al-netl-thistle-and-boltzmann-machines/

    [5] Ackley, D., H., Hinton, G., E., Sejnowski, T., J., 1985. A learning algorithm for Boltzmann machines. Cogn. Sci. 9, 147. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0364021385800124

    [6] Rumelhart, D., E., Hinton, G., E., and Williams, R. J., 1986. Learning representations by back-propagating errors. Nature 323, 533. https://www.nature.com/articles/323533a0

    [7] Hopfield, J., J., 1984. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 81, 3088. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.81.10.3088

    [8] Hinton, G., E., 2002. Training Products of Experts by Minimizing Contrastive Divergence. Neural Comput. 14, 1771. https://direct.mit.edu/neco/article-abstract/14/8/1771/6687/Training-Products-of-Experts-by-Minimizing?redirectedFrom=fulltext; Hinton, G., E., Osindero, S., Teh, Y.,-W., 2006. A fast learning algorithm for deep belief nets. Neural Comput. 18, 1527. https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/16764513/

    [9] Frank, M., C., 2023. Bridging the data gap between children and large language models. Trends Cogn. Sci. 27, 990. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1364661323002036

    [10] Κρίσιμα σημεία στην επιφάνεια της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, όπου οι μερικές παράγωγοι προς όλες τις κατευθύνσεις έχουν την τιμή μηδέν, τα οποία δεν είναι τοπικά ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα) [ΣτΜ].

    Ιαπωνική ποιητική φόρμα [ΣτΕ].

  • ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΠΛΟ Ο μαθηματικοί του 20ού αιώνα

    ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΠΛΟ Ο μαθηματικοί του 20ού αιώνα

    ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

    ΤΕΥΚΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ

    Μετάφραση: Κρίτων Ηλιόπουλος

    ISBN 978-618-230-091-6

    Διαστάσεις: 17 x 24 cm
    Αριθμός σελίδων:     352

    Τιμή: € 20

    Έτος έκδοσης: 2024Περιγραφή

    «Πρέπει να μάθουμε, και θα μάθουμε!» αναφώνησε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1930, στην ομιλία για την αναγόρευσή του σε επίτιμο πολίτη της γενέτειράς του. Ίσως η αισιοδοξία του να ήταν υπέρμετρη· ίσως, πάλι, απλώς να απηύθυνε πρόσκληση προς τους νεότερούς του επιστήμονες να συνεχίσουν να αναζητούν τη γνώση, όπως άλλωστε έκανε και ο ίδιος σε όλη του τη σταδιοδρομία. Στην αναζήτηση αυτή αναφέρεται και το βιβλίο τούτο — στο κυνήγι της μαθηματικής γνώσης, αλλά και στους ανθρώπους πίσω από αυτό.

    Τα μαθηματικά του 20ού αιώνα είναι ένα θαυμαστό ψηφιδωτό από καινούργιες ιδέες και νέες εφαρμογές των παλαιότερων, μεταξύ των οποίων ιδέες και θεωρίες που, ενώ δεν συμφωνούν με την ανθρώπινη διαίσθηση, σε πολλές περιπτώσεις βρήκαν εφαρμογή στην καθημερινότητά μας.

    Το βιβλίο αυτό όμως, περισσότερο από οτιδήποτε άλλο, είναι ένας φόρος τιμής στους ανθρώπους στους οποίους χρωστάμε τούτη τη γνώση. Κι αν το στερεότυπο που πολλοί έχουν στο μυαλό τους για τους μαθηματικούς είναι εκείνο του μοναχικού και εκκεντρικού επιστήμονα, εδώ θα βρείτε μια πλειάδα χαρακτήρων — άλλων εξωστρεφών και παιχνιδιάρηδων, άλλων ασκητικών, άλλων βασανισμένων, άλλων απλώς κατατρεγμένων από τα τρομακτικά γεγονότα που σημάδεψαν τον αιώνα που πέρασε.

    Όπως είπε και ο ίδιος ο Χίλμπερτ, ας ανασηκώσουμε το πέπλο, κι ας δούμε πώς συνυφαίνονται η ιστορία, η ανθρώπινη φύση και η μαθηματική ευφυΐα, και με ποιον τρόπο όλα αυτά έχουν επηρεάσει άμεσα τον τρόπο με τον οποίο ζούμε, σκεφτόμαστε και αντιλαμβανόμαστε την παγκόσμια γλώσσα της φύσης σήμερα.

    Περιεχόμενα

    Πρόλογος 

    Εισαγωγή – Η belle époque των μαθηματικών
    Ανρί Πουανκαρέ – Γκέοργκ Κάντορ

    1. Αυτός που τόλμησε να ανασηκώσει το πέπλο (Ντάβιντ Χίλμπερτ)
      2. Η ολέθρια αυτοαναφορικότητα (Κουρτ Γκαίντελ)
      3. Μηχανές του νου (Άλαν Τιούρινγκ)
      4. Και η πληροφορία έγινε μέγεθος (Κλωντ Σάννον)
      5. Ένας κοσμοπολίτης πανεπιστήμονας (Τζων φον Νόυμαν)
      6. Εβραία και γυναίκα σε έναν ανδροκρατούμενο, αντισημιτικό κόσμο (Έμμυ Ναίτερ)
      7. Η τριανδρία του μέτρου (Ανρί Λεμπέγκ – Εμίλ Μπορέλ – Ρενέ Μπαιρ)
      8. Ex oriente lux (Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή)
      9. Τα αστέρια της Λουζιτανίας (Αντρέι Κολμογκόροφ – Ντμίτρι Εγκόροφ – Νικολάι Λούζιν – Πάβελ Αλεξάντροφ – Βλαντίμιρ Άρνολντ)
      10. Επαναστάτες και δικτάτορες (Νικολά Μπουρμπακί)
      11. Βίοι παράλληλοι (Σρινιβάσα Ραμάνουτζαν – Αλεξάντρ Γκρότεντικ)
      12. Χαοτικές διαδρομές (Μπενουά Μάντελμπροτ – Γκαστόν Ζυλιά – Έντουαρντ Λόρεντζ – Μίτσελ Φαϊγκενμπάουμ – Στήβεν Σμέηλ)
      13. Τα δισέγγονα του Διόφαντου (Τζούλια Ρόμπινσον – Γιούρι Ματιγιάσεβιτς)
      14. Τα μεγάλα προβλήματα (Άντριου Ουάιλς – Γκριγκόρι Πέρελμαν – Χρίστος Παπακυριακόπουλος – Πωλ Έρντος – Άλαν Μπέηκερ)
      15. Όρια και προοπτικές

    Γενική Βιβλιογραφία
    Εισαγωγικά αποσπάσματα
    Αναφερόμενα έργα
    Ευρετήριο ονομάτων    Bιογραφικό Συγγραφέα

    O Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ μαθηματικών του Πανεπιστημίου Pierre et Marie Curie (Paris VI). Από το 1980 έως το 2021 εργάστηκε ως μαθηματικός στη μέση εκπαίδευση. Από το 1998 δραστηριοποιείται στον χώρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας»· έχει γράψει δώδεκα κι έχει μεταφράσει πενήντα ένα βιβλία που σχετίζονται με τα μαθηματικά, και απευθύνονται στο ευρύ κοινό. Έργα του έχουν εκδοθεί σε οκτώ ξένες γλώσσες. Για το σύνολο του ερευνητικού και εκπαιδευτικού του έργου, η γαλλική κυβέρνηση του έχει απονείμει τον τίτλο του Chevalier dans l’ordre des palmes académiques. Είναι ιδρυτικό μέλος της ομάδας «Θαλής + Φίλοι», η οποία έχει ως στόχο το γεφύρωμα του χάσματος ανάμεσα στα μαθηματικά και τις υπόλοιπες πολιτιστικές δραστηριότητες.

  • What Is a QUANTUM FIELD THEORY? – ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΥ

    What Is a QUANTUM FIELD THEORY? – ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΥ

    Michel Talagrand
    Cambridge University Press, 2022
    756 σελίδες

    Θεοφάνης Γραμμένος,

    Αναπλ. Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο ΘεσσαλίαςTo InS σε συνεργασία με τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Θεοφάνη Γραμμένο ξεκινά την παρουσίαση και κριτική επιστημονικών συγγραμμάτων. Στην ελληνική, μεταφρασμένη ή μη, βιβλιογραφία δεν υπάρχουν πολλά συγγράμματα σχετικά με την κβαντική θεωρία πεδίων και ο βασικός (αν και όχι ο μοναδικός) λόγος για αυτή την έλλειψη είναι πως πρόκειται για ένα αντικείμενο που, εξ αιτίας των υψηλών μαθηματικών απαιτήσεων αλλά και της προϋπόθεσης προχωρημένων γνώσεων κβαντικής μηχανικής, διδάσκεται σχεδόν κατ’ εξοχήν σε μεταπτυχιακά προγράμματα σπουδών θεωρητικής φυσικής τα οποία για ευνόητους λόγους ανέκαθεν ήταν ολιγομελή. Ωστόσο, η κβαντική θεωρία πεδίων, ένα από τα πιο σπουδαία επιτεύγματα της φυσικής σκέψης και γενικότερα της ανθρώπινης νόησης, έχει μεγάλο ενδιαφέρον και για τους μαθηματικούς παρότι η σχετική εκδοτική δραστηριότητα ως προς το μαθηματικό αναγνωστικό κοινό είναι ακόμη μικρότερη. Μάλιστα ακόμη και στη διεθνή βιβλιογραφία τα απευθυνόμενα στη μαθηματική κοινότητα σχετικά διδακτικά συγγράμματα, τα οποία χαρακτηρίζονται από την απαραίτητη αφαιρετική μαθηματική προσέγγιση και τη συνακόλουθη αυστηρότητα, δεν ξεπερνούν τα δέκα. Σε αυτά έρχεται πλέον να προστεθεί το ανωτέρω βιβλίο που εκδόθηκε το 2022 από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις του Cambridge. Ο συγγραφέας του, ο Γάλλος Michel Talagrand, δεν είναι άγνωστος στους μαθηματικούς. Το 2024 του απονεμήθηκε το Βραβείο Abel για τη συμβολή του στη συναρτησιακή ανάλυση και τη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές τους στη μαθηματική φυσική, και ειδικότερα για το έργο του στις στοχαστικές διαδικασίες. Το Βραβείο Abel προστέθηκε σε ένα πλήθος άλλων διακρίσεων του Talagrand όπως, για παράδειγμα, το Βραβείο Fermat (1997), το Βραβείο Shaw (2019), και το Μετάλλιο Stefan Banach της Πολωνικής Ακαδημίας Επιστημών (2022).

    Το παρόν σύγγραμμα αποπειράται να γεφυρώσει, με όσο το δυνατόν πιο κατανοητό και προσιτό τρόπο, την απόσταση μεταξύ της προσέγγισης των θεωρητικών φυσικών στο αντικείμενο και της αυστηρής τεκμηρίωσης που αποζητούν οι μαθηματικοί. Ως μοναδικό προαπαιτούμενο ο Talagrand θέτει την καλή γνώση γραμμικής άλγεβρας και απειροστικού λογισμού, ενώ τα όποια άλλα μαθηματικά αντικείμενα που θα χρειαστεί ο αναγνώστης, όπως, για παράδειγμα, οι μη φραγμένοι τελεστές, η θεωρία κατανομών, και η θεωρία αναπαραστάσεων, καθώς και μια περιεκτική παρουσίαση θεμάτων από το αναγκαίο υπόβαθρο φυσικής, επεξηγούνται σε 16 παραρτήματα στο τέλος.

    Το βιβλίο είναι χωρισμένο σε τέσσερα μέρη. Στο πρώτο μέρος με τίτλο «Basics» παρουσιάζονται με αρκετή λεπτομέρεια τα βασικά στοιχεία της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής και της μη σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας πεδίων, οι ομάδες Lorentz και Poincaré, το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο με μάζα, οι βασικές αρχές της κβάντωσης και ο τρόπος που στηρίζεται στη λαγκρανζιανή και τη χαμιλτονιανή μηχανική, και τέλος το φαινόμενο Casimir. Το δεύτερο μέρος με τίτλο «Spin» είναι αφιερωμένο στο σπιν. Πιο συγκεκριμένα, περιλαμβάνονται εκτεταμένα οι αναπαραστάσεις της ορθογώνιας ομάδας, της ομάδας Lorentz, και της ομάδας Poincaré, και τα βασικά ελεύθερα πεδία όπου, μεταξύ άλλων, αναλύεται κατανοητά η έννοια της μικροαιτιότητας. Το δεύτερο μέρος κλείνει με τα πεδία Dirac και Majorana. Στο τρίτο μέρος με τίτλο «Interactions», ο Talagrand καταπιάνεται με τις αλληλεπιδράσεις. Μετά από μια επαρκή εισαγωγή στη (τόσο τη χρονο-ανεξάρτητη όσο και τη χρονο-εξαρτώμενη) θεωρία διαταραχών, προχωρά στη μελέτη της σκέδασης, του μητρώου ή πίνακα σκέδασης, και της έννοιας της ενεργού διατομής, ενώ αφιερώνει περί τις 70 σελίδες στην εξέταση του μητρώου σκέδασης στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών. Στο κεφάλαιο αυτό, μεταξύ άλλων, παρουσιάζονται με διδακτικό τρόπο το θεώρημα του Wick, ο διαδότης και τα διαγράμματα Feynman, και το μοντέλο φ4. Το τελευταίο κεφάλαιο του τρίτου μέρους αφορά τα αλληλεπιδρώντα κβαντικά πεδία όπου, μεταξύ άλλων, παρουσιάζεται μια διαγραμματική ερμηνεία του θεωρήματος των Gell-Mann και Low μέσω του οποίου είναι δυνατή η σύνδεση της θεμελιώδους κατάστασης ενός αλληλεπιδρώντος κβαντικού συστήματος με τη θεμελιώδη κατάσταση της αντίστοιχης μη αλληλεπιδρώσας θεωρίας.

    Το τέταρτο μέρος του βιβλίου με τίτλο «Renormalization» εξετάζει με μαθηματικά αυστηρό τρόπο την δύσκολη έννοια της επανακανονικοποίησης ξεκινώντας με τη λεγόμενη απαρίθμηση δυνάμεων, ιδέα που εισήγαγε ο Freeman Dyson το 1948 στην προσπάθεια να αποφανθεί σχετικά με το ποιες θεωρίες κβαντικών πεδίων είναι επανακανονικοποιήσιμες. Η απαρίθμηση αυτή συνδέει τα κβαντικά πεδία, τις σταθερές σύζευξης, και τις παραμέτρους μάζας τους. Παρουσιάζεται το θεώρημα απαρίθμησης δυνάμεων του Weinberg, και στη συνέχεια εξετάζεται η μέθοδος επανακανονικοποίησης Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann, γνωστή και ως σχήμα BPHZ, με την οποία καθίστανται πεπερασμένα τα πλάτη Feynman, ενώ διατηρούνται σε ισχύ οι βασικές απαιτήσεις της σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας πεδίων, δηλαδή το αναλλοίωτο κατά Lorentz, η μοναδιακότητα, και η αιτιότητα. Η μέθοδος στηρίζεται στη συστηματική αφαίρεση ολοκληρωμάτων στον χώρο των ορμών, γεγονός που τη διακρίνει από άλλες μεθόδους επανακανονικοποίησης. Ακολούθως, στο πλαίσιο αυτής της μεθόδου μελετάται ο αποφασιστικός ρόλος των λεγόμενων αντισταθμιστικών όρων, οι ιδιομορφίες και ο έλεγχός τους, και τέλος αποδεικνύεται η σύγκλιση του σχήματος BPHZ.

    Το πέμπτο και τελευταίο μέρος φέρει τον τίτλο «Complements» και περιλαμβάνει, όπως προαναφέρθηκε, 16 παραρτήματα στα οποία παρουσιάζονται συμπληρωματικά στοιχεία από τη θεωρία αναπαραστάσεων, η οριστικοποίηση της απόδειξης του θεωρήματος του Stone, οι κανονικές σχέσεις μετάθεσης, μια συμπαγής παρουσίαση των αλγεβρών Lie, στοιχεία της ειδικής θεωρίας σχετικότητας, σχόλια σχετικά με την ύπαρξη του τελεστή θέσης, οι αναπαραστάσεις της ομάδας Poincare, ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός για κλασικά πεδία, η κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου μέσω της προσέγγισης Gupta-Bleuler, οι εξισώσεις Lippmann-Schwinger, συναρτήσεις επί επιφανειών και θεωρία κατανομών, στοιχεία κατανομών Schwartz (γνωστών και ως tempered distributions), τα αξιώματα του Wightman και το θεώρημα του Haag, ο διαδότης Feynman και η εξίσωση Klein-Gordon, το δυναμικό Yukawa, και τέλος οι πρωτεύουσες τιμές και οι συναρτήσεις δέλτα.

    Το βιβλίο του Talagrand είναι ίσως το πλέον ενδεδειγμένο για έναν μαθηματικό που αναζητά τη μαθηματική αυστηρότητα δοσμένη με διδακτικό τρόπο και παράλληλα με τη φυσική εξήγηση και κατανόηση. Ο αναγνώστης θα ωφεληθεί πολύ στην καλύτερη εμπέδωση της παρουσιαζόμενης ύλης αν επεξεργαστεί τις περίπου 300 ασκήσεις που περιέχει το βιβλίο, ενώ στο τέλος δίνονται οι λύσεις σε επιλεγμένες ασκήσεις.
    Ο Θεοφάνης Γραμμένος είναι Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας με γνωστικό αντικείμενο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά με έμφαση στις Διαφορικές Εξισώσεις και την Κλασική Θεωρία Πεδίου». Στα ερευνητικά ενδιαφέροντά του περιλαμβάνονται οι διαφορικές εξισώσεις, η τανυστική ανάλυση και η διαφορική γεωμετρία, η γενική θεωρία της σχετικότητας, η θεωρητική μηχανική, και η ιστορία και επικοινωνία των μαθηματικών επιστημών. Έχει δημοσιεύσει περισσότερα από 40 άρθρα σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά και πρακτικά συνεδρίων, έχει συγγράψει δύο επιστημονικά συγγράμματα με αντικείμενα τη Γραμμική Άλγεβρα (Εκδ. Τζιόλα) και τα Ασαφή Μαθηματικά (Wiley), αντίστοιχα, και έχει μεταφράσει περισσότερα από 15 επιστημονικά συγγράμματα Μαθηματικών.

  • ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΠΑΝΔΗΜΙΑΣ

    ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΠΑΝΔΗΜΙΑΣ

    ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

    MANUEL DE LEÓN & ANTONIO GÓMEZ CORRAL

    Μετάφραση: Ανδρομάχη Σπανού

    ISBN 978-618-230-075-6

    Διαστάσεις: 14 x 21 cm
    Αριθμός σελίδων:     192

    Τιμή: € 15

    Έτος έκδοσης: 2024Από τον λοιμό των Αθηνών, το 430 π.Χ., και τη μαύρη πανώλη τον 14ο αιώνα ώς την ισπανική γρίπη το 1918 και την COVID-19 στα πρώτα χρόνια της δεκαετίας του 2020 η ανθρωπότητα έρχεται περιοδικά αντιμέτωπη με πανδημίες που έχουν τεράστιες κοινωνικές επιπτώσεις. Σήμερα, βέβαια, ζούμε σε μια εποχή πολύ διαφορετική από εκείνη των αρχαίων Αθηναίων ή των Ευρωπαίων του Μεσαίωνα, ή ακόμα και από εκείνη στην οποία βρισκόταν ο κόσμος κατά το πρώτο τέταρτο του 20ού αιώνα. Ξέρουμε ποιον πολεμάμε και δουλεύουμε με προηγμένα εργαλεία· αυτά συγκροτούν ένα πλαίσιο στο οποίο τα μαθηματικά παίζουν εξέχοντα ρόλο και αποδεικνύονται όπλο καθοριστικής σημασίας. Οι μαθηματικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται προκειμένου να προλαμβάνουμε, να προβλέπουμε, να ελέγχουμε και να καταπολεμούμε τις ασθένειες αξιοποιούν πρακτικά όλο τον επιστημονικό κλάδο, από τις διαφορικές εξισώσεις μέχρι τη βελτιστοποίηση, ενώ περιλαμβάνουν επίσης τη στατιστική, τις χρονοσειρές, τις αλυσίδες Μαρκόφ, τις αριθμητικές μεθόδους, τη γεωμετρία κ.λπ.· η μαθηματική επιστήμη βρίσκεται κυριολεκτικά στην υπηρεσία της κοινωνίας.

    Περιεχόμενα

    Εισαγωγή

    1. Η μορφή του εχθρού
      2. Επιδημίες και εμβόλια: Ντάνιελ Μπερνούλλι εναντίον Ζαν λε Ρον ντ’ Αλαμπέρ
      3. Τα μαθηματικά ενάντια στην ελονοσία και τα μηχανιστικά μοντέλα
      4. Το μοντέλο SIR και πέρα από αυτό
      5. Κάθετη μετάδοση και η εξάλειψη των επωνύμων
      6. Οι αλυσίδες του Αντρέι Μαρκόφ στη βιολογία
      7. Χρονοσειρές και η τιμή του παρατηρούμενου
      8. Οι κοινωνικές όψεις μιας πανδημίας

    Επίλογος: Πήραμε το μάθημά μας;
    Ευχαριστίες
    Βιβλιογραφία
    Ο Manuel de León είναι μαθηματικός, καθηγητής ερευνών στο Ανώτερο Συμβούλιο Επιστημονικών Ερευνών (CSIC) και ιδρυτής του Ινστιτούτου Μαθηματικών Επιστημών της Ισπανίας. Διετέλεσε μέλος της Εκτελεστικής Επιτροπής της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης (IMU) και του Διεθνούς Συμβουλίου Επιστημών (ICSU).

    Ο Antonio Gómez Corral είναι μαθηματικός και καθηγητής του Πανεπιστημίου Κομπλουτένσε της Μαδρίτης (UCM). Τα επιστημονικά του ενδιαφέροντα, τόσο σε επίπεδο έρευνας όσο και εκλαΐκευσης της επιστήμης, επικεντρώνονται στις εφαρμογές των στοχαστικών δια­δικασιών στη βιολογία, ιδιαίτερα στην εξάπλωση των μεταδοτικών ασθενειών.

  • ΔΟΜΝΙΝΟΣ Ο ΛΑΡΙΣΑΙΟΣ: Τα αριθμητικά έργα

    ΔΟΜΝΙΝΟΣ Ο ΛΑΡΙΣΑΙΟΣ: Τα αριθμητικά έργα

    ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

    PETER RIEDLBERGER

    Μετάφραση: Νίκος Μαράκας

    Επιστημονική Επιμέλεια: Μιχάλης Σιάλαρος

    Σχεδιασμός Εξώφυλλου: Ιάκωβος Ουρανός

    ISBN 978-618-230-042-8

    Διαστάσεις: 14 x 21 cm
    Αριθμός σελίδων:     496

    Τιμή: € 24

    Έτος έκδοσης: 2024Για τους νεοπλατωνικούς φιλοσόφους, η συστηματική ενασχόληση με τα μαθηματικά συνιστούσε βασική προϋπόθεση για τη βαθύτερη κατανόηση της φιλοσοφίας. Σε αυτό το πλαίσιο, οι μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) αποτέλεσαν κατά την Ύστερη Αρχαιότητα αναπόσπαστο τμήμα του εκπαιδευτικού προγράμματος της Σχολής των Αθηνών, στην οποία φοίτησε ο Δομνίνος από τη Λάρισα της Συρίας. Οι πηγές περιγράφουν τον Δομνίνο ως ιδιαίτερα ικανό στα μαθηματικά. Τι απέμεινε όμως από το έργο του; Το παρόν βιβλίο επιχειρεί να δώσει μια απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Εκκινώντας από μια παρουσίαση του ιστορικού και πολιτισμικού πλαισίου εντός του οποίου έζησε ο Δομνίνος, η μελέτη εξετάζει, αρχικά, τα διαθέσιμα βιογραφικά στοιχεία για τον Δομνίνο και, στη συνέχεια, εστιάζει σε τρία σημαντικά μαθηματικά κείμενα της Ύστερης Αρχαιότητας που έχουν αποδοθεί σε αυτόν: το Εγχειρίδιον της «Αριθμητικής Εισαγωγής», το Πώς αποσπάται ένας λόγος από έναν άλλο λόγο και τα Σχόλια στον Νικόμαχο. Το βιβλίο απευθύνεται σε αναγνώστες που αναζητούν, αφενός, ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο για το ιστορικό και φιλοσοφικό πλαίσιο των μαθηματικών της Ύστερης Αρχαιότητας και, αφετέρου, μια επαφή με τα ίδια τα πρωτότυπα κείμενα και τον σχολιασμό τους.

    Περιεχόμενα

    Πρόλογος του συγγραφέα στην ελληνική έκδοση
    Πρόλογος

    1. Μια σύντομη εισαγωγή στο πολιτισμικό υπόβαθρο
      II. Ο Δομνίνος ο Λαρισαίος
      III. Το έργο του Δομνίνου
      IV. Δομνίνος ο Λαρισαίος: Μια αποτίμηση
      V. Προλεγόμενα στις κριτικές εκδόσεις
      VI. Εκδόσεις και μετάφραση
      VII. Σχολιασμός

    Ευχαριστίες
    Συντομογραφίες
    Βιβλιογραφία
    Ευρετήριο πηγών και χωρίων
    Ευρετήριο ελληνικών όρων
    Γενικό ευρετήριο

  • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΝΗΠΙΑ – Λογική, μαθηματική και κριτική σκέψη

    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΝΗΠΙΑ – Λογική, μαθηματική και κριτική σκέψη

    ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

    ΝΑΟΓΙΑ ΙΜΑΝΙΣΙ

    Μετάφραση: Αλεξάνδρα Γουργιώτη

    ISBN 978-618-230-065-7

    Διαστάσεις: 20,3 x 25,4 cm
    Αριθμός σελίδων:     208

    Τιμή: € 12

    Έτος έκδοσης: 2024ΛΥΣΕ, ΜΑΘΕ, ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΕ!

    Μέτρα τα πηδηματάκια του βατράχου, ψάξε τα σχήματα πάνω στο πειρατικό καράβι, βρες τον δρόμο σου σ’ έναν λαβύρινθο με βοηθό την αφαίρεση – το Μαθηματικά για νήπια, ένα βιβλίο γεμάτο πολύχρωμα σχέδια και ασκήσεις, βοηθά τα παιδιά του νηπιαγωγείου να θεμελιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά, τη λογική, την κριτική σκέψη, αλλά και να καλλιεργήσουν την αυτοπεποίθησή τους.

    175 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ = ΣΟΥΠΕΡ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ

    Από τους λαβύρινθους και τα παζλ έως τις ασκήσεις με κενά που πρέπει να συμπληρώσουν, το βιβλίο διασκεδάζει τα παιδιά και τους μαθαίνει πάρα πολλά.

    ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΞΑΝΟΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΚΕΝΤΡΙΖΟΥΝ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ
    Οργανωμένες σε 4 επίπεδα, οι δραστηριότητες βασίζονται σε γνώσεις που ήδη αποκτήθηκαν, ώστε τα παιδιά να συλλάβουν νέες μαθηματικές έννοιες χωρίς να βαρεθούν ποτέ.

    ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

    Το βιβλίο διδάσκει στα παιδιά έννοιες της ηλικίας τους. Προχωρώντας πέρα από το σχολικό πρόγραμμα, μαθαίνουν να μετρούν μέχρι το 100, να προσθέτουν και να αφαιρούν, να αναγνωρίζουν σχέδια και σχήματα, να λύνουν προβλήματα κ.ά.

    _____________________________________________________________________________________Ο Ναόγια Ιµανίσι είναι ειδικευµένος στον τοµέα της εκπαίδευσης. Εργάζεται ως εκπαιδευτικός στη Διεύθυνση Πρωτοβάθµιας Εκπαίδευσης του Λος Άντζελες από το 2000, υπηρετώντας ως δάσκαλος στην Γ΄ τάξη του δηµοτικού, ως προγυµναστής µαθηµατικών και, πιο πρόσφατα, ως σχολικός συντονιστής. Συµµετέχει επίσης στο Πρόγραµµα Μαθηµατικών του UCLA ως υπεύθυνος καθηγητής και ειδικός στη Γνωστικά Καθοδηγούµενη Διδασκαλία.

  • Κωνσταντίνος Νέγρης, ο πρώτος καθηγητής Μαθηματικών στο Οθωνικό Πανεπιστήμιο

    Κωνσταντίνος Νέγρης, ο πρώτος καθηγητής Μαθηματικών στο Οθωνικό Πανεπιστήμιο

    ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΕΠΤΑΛΟΦΟΣ

    ΧΡΙΣΤΙΝΑ Π. ΦΙΛΗ

    ISBN 978-618-5177-52-2

    Διαστάσεις: 17 x 24 cm
    Αριθμός σελίδων:     160

    Τιμή: € 15

    Έτος έκδοσης: 2024Eνας ἀπό τούς πρώτους καθηγητές, ὁ ὁποίος μέ τήν ἀρθρογραφία του στόν ἀθηναϊκό τύπο πρωτοστάτησε στήν ἵδρυση τοῦ Πανεπιστημίου στήν Ἀθήνα, ἦταν ὁ Κωνσταντῖνος Νέγρης (1804-1880). Φορέας τῆς γαλλικῆς μαθηματικῆς παιδείας (Παρίσι: λύκειο Καρλομάγνου, Παρισινή Πολυτεχνική Σχολή) στή σύντομη θητεία του στό Ὀθωνικό Πανεπιστήμιο θά ἀντιμετωπίσει σημαντικές δυσκολίες προκειμένου νά μεταδώσει τίς μαθηματικές γνώσεις πού εἶχε ἀποκτήσει στή Γαλλία. Ἡ ἀπροθυμία τῶν φοιτητῶν νά παρακολουθήσουν τήν διδασκαλία του, ἀλλά καί ἡ ἀδυναμία τοῦ Νέγρη νά προσαρμοσθεῖ στίς ἐπεμβάσεις τῆς ἐξουσίας καθώς καί οἱ δύο διαδοχικές ἀπολύσεις του (1843, 1845) θά βάλουν τέλος στή σύντομη παρουσία του στό Ὀθωνικό Πανεπιστήμιο.

    _____________________________________________________________________________________

    Ο Χριστίνα Φίλη είναι τέως καθηγήτρια του ΕΜΠ και μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας της Ιστορίας των Επιστημών.

  • Από τον Δημόκριτο στους Κβαντικούς Υπολογιστές

    Από τον Δημόκριτο στους Κβαντικούς Υπολογιστές

    ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΡΟΠΗ

    Σκότ Αάρονσον ( Scott Aaronson )

    Μετάφραση: Μιλτιάδης Παπαδημητρόπουλος.
    ISBN: 978-618-5289-89-
    Διαστάσεις: 16 Χ 23
    Αριθμός σελίδων: 418
    Τιμή με ΦΠΑ: € 25.44

    Έτος έκδοσης: 2023

    Μετάφραση: Μιλτιάδης Παπαδημητρόπουλος

    Επιστημονική Επιμέλεια: Κυριάκος Ταμβάκης (Ομότιμος Καθηγητής Παν. Ιωαννίνων), Άρης Παγουρτζής (Καθηγητής, Ε.Μ.Π), Μάριος Ρόζος (Ε.Μ.Π.)Το βιβλίο Από τον Δημόκριτο στους κβαντικούς υπολογιστές θέτει υποψηφιότητα για το πιο αλλόκοτο βιβλίο που εκδόθηκε ποτέ από τον εκδοτικό οίκο Cambridge University Press. Η παραδοξότητά του εντοπίζεται ήδη από τον τίτλο, ο οποίος προφανώς και αποτυγχάνει να μας εξηγήσει τι ακριβώς πραγματεύεται. Πρόκειται για ακόμη ένα διδακτικό εγχειρίδιο κβαντικής υπολογιστικής – του δημοφιλούς πεδίου στο οποίο διασταυρώνονται οι κλάδοι της Φυσικής, των Μαθηματικών και της Επιστήμης των Υπολογιστών και που υπόσχεται στον κόσμο ένα νέο είδος υπολογιστή εδώ και δύο δεκαετίες, αλλά δεν έχει ακόμη φτιάξει μια πραγματική συσκευή, η οποία να κάνει κάτι εντυπωσιακότερο από το να παραγοντοποιεί το 21 σε 3 x 7 (με υψηλή πιθανότητα);

    Αν ναι, τότε τι παραπάνω προσθέτει αυτό το βιβλίο στην πληθώρα των άλλων που έχουν ήδη χαρτογραφήσει τα βασικά γνωρίσματα της θεωρίας της κβαντικής υπολογιστικής; Μήπως, αντίθετα, πρόκειται για μια δονκιχωτική απόπειρα σύνδεσης της κβαντικής υπολογιστικής με την αρχαία ιστορία; Και τι σχέση έχει ο Δημόκριτος, ο Έλληνας προσωκρατικός φιλόσοφος που εισήγαγε τον ατομισμό, με το περιεχόμενο αυτού του συγγράμματος που τουλάχιστον κατά το ήμισύ του θα αποτελούσε νέα γνώση για τους επιστήμονες της δεκαετίας του 1970, πολλώ δε μάλλον του 300 π.Χ.;

    _____________________________________________________________________________________

    Ο Scott Aaronson είναι καθηγητής Επιστήμης Υπολογιστών του Ντέιβιντ Τζ. Μπρούτον Τζούνιορ στο Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν και διευθυντής του Κβαντικού Κέντρου Πληροφοριών του. Προηγουμένως, ήταν στη σχολή του Τεχνολογικού Ινστιτούτου της Μασαχουσέτης. Σπούδασε στο Cornell και στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ και έκανε μεταδιδακτορικό στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών καθώς και στο Πανεπιστήμιο του Βατερλώ. Το πρώτο του βιβλίο,Quantum Computing From Democritus,εκδόθηκε το 2013 από τις εκδόσεις Cambridge University Press. Έχει λάβει το βραβείο Alan T. Waterman του Εθνικού Ιδρύματος Επιστημών, το βραβείο PECASE των Ηνωμένων Πολιτειών και το βραβείο Junior Bose του MIT για την αριστεία στη διδασκαλία.

    Η έρευνα του Aaronson επικεντρώνεται στις δυνατότητες και τα όρια των κβαντικών υπολογιστών και γενικότερα στην υπολογιστική πολυπλοκότητα και τη σχέση της με τη φυσική. Στο πλαίσιο της συνεργασίας It from Qubit, ο Aaronson ενδιαφέρεται εξαιρετικά για την αλληλεπίδραση μεταξύ της υπολογιστικής πολυπλοκότητας και της κβαντικής βαρύτητας. Αυτό περιλάμβανε τη μελέτη των πτυχών της επιστήμης των υπολογιστών του επιχειρήματος Harlow-Hayden, το οποίο επιχειρεί να εφαρμόσει τη θεωρία πολυπλοκότητας στο περιβόητο «παράδοξο τείχους προστασίας» στις πληροφορίες για τις μαύρες τρύπες, καθώς και τη συνεργασία με τον Leonard Susskind για την κατανόηση της ανάπτυξης της πολυπλοκότητας των κβαντικών κυκλωμάτων σε συστήματα που προκύπτουν από την αλληλογραφία AdS/CFT.